1902. No. I. ÜBER INTEGRALINVARIANTEN UND DIFFERENTIALGI,. 53 



und dabei sind Ç und jj ganz willk-ürliche Funktionen von x und y. Jetzt 



sind alle Lösungen des vollständigen Systems X]/"= o, X^f^o unter 



einander gleichberechtigt und daher verlangt die Integration dieses voll- 

 ständigen Systems die Operationen 



Im vorliegenden Falle ziehen zvir also gar keinen Vortheil aus der 

 bekannten Integralinvariante. 



Dies liegt aber nicht in einer Unvollkommenheit unserer Theorie, son- 

 dern es beruht auf dem Wesen der Sache. Es sind ja einerseits alle 

 Lösungen unter einander gleichberechtigt, und es sind auch andererseits 

 nachdem eine Lösung gefunden ist, alle übrigen Lösungen unter einander 

 gleichberechtigt. 



Fall V. [Seite 34]. 

 Der fünfte Fall ist dadurch charakterisirt, dass 



ist und dass Uf die Form 



mit den beiden willkürlichen constanten a und b besitzt. Jetzt werden 

 flie oc 2 charakteristischen Mannigfaltigkeiten durch eine zweigliedrige, also 

 integrable^^) Gruppe transformirt, deren Transformationen nicht vertauschbar 

 sind. Man findet die beiden infinitesimalen Transformationen dieser letzten 

 Gruppe durch zwei Quadraturen. Man bildet zu diesem Zwecke zunächst 

 die Definitionsgleichungen der infinitesimalen Transformationen der ersten 

 dirivirten Gruppe. In dieser Weise findet man zunächst durch eine Qua- 

 dratur die invariante infinitesimale Transformation der oben besprochenen 

 zweigliedrigen Gruppe, sodann durch eine neue Quadratur die fehlende 

 infinitesimale Transformation dieser Gruppe. Hinterher bestimmt man eine 

 erste Lösung des vollständigen Sj^stems Xif=o, ^2/= o durch eine 

 dritte Quadratur und endlich die fehlende Lösung durch eine vierte Qua- 

 dratur. 



In diesem Falle verlangt somit die Integration unseres vollständigen 

 Systems vier successive Quadraturen also die Operationen 



o, o, o, o. 



