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Fall VI. [Seite 36]. 

 Der sechste Fall ist dadurch charakterisirt dass 



C=o, ^33 — 3(54:0 



ist und dass die infinitesimalen Transformationen Uf die kanonische Form 



mit den willkürlichen Constanten a, b, besitzen. 



In diesem Falle wird das zweidimensionale Gebiet der oc^ charak- 

 teristischen ;\Iannigfaltigkeiten durch eine zzveigliedrige Gruppe mit ver- 

 tauschbaren Transformationen transformirt. Es verlangt daher nach mei- 

 nen allgemeinen Theorien die Bestimmung dieser zweigliedrigen Gruppe 

 die Erledigung einer Riccatisclien Differentialgleichung erster Ordnung®"). 

 Sodann finden wir die beiden Lösungen unseres vollständigen Systems 

 durch zwei Quadraturen, die in dem Sinne von einander unabhängig sind, 

 dass es gleichgültig ist in welcher Reihenfolge sie ausgeführt werden. 



Die im vorliegenden Falle erforderlichen Operationen bezeichnen wir 

 durch die Symbole 



R, o, o. 



Fall VII. [Seite 37]. 

 Dieser Fall ist dadurch charakterisirt, dass 



C=o, Äia %B^o 

 und dass Uf die Form 



besitzt. Jetzt ist die Gruppe Uf intransitiv und wir finden liaher eine 

 Lösung des vollständigen Systems X\f^o, Zg/=o ohne Integration, 

 ja ohne Quadratur, dass heisst tlurch eine Operation (o). In jedem unter 

 den hiermit gefundenen dreidimensionalen Räumen liegen 00 1 charakteri- 

 stische Mannigfaltigkeiten, und das eindimensionale Gebiet dieser oc * 

 Mannigfaltigkeiten wird von einer einzigen infinitesimalen Transformation 

 transformirt. Diese infinitesimale Transformation wird daher durch eine 

 Quadratur gefunden und eine neue Quadratur gicbt sodann die fehlende 



