4 ALF t;Ul.lJUKRG. M.-N. Kl. 



Wir werden daciurcli naliirlicli zu der Aufgabe geführt, die vcr- 

 sciiiedcncn Fälle zu untersuchen, die auftreten können, je nachdem unser 

 Integral die verschiedenen Gruppen der Ebene gestattet. 



Unsere Aufgabe vereinfacht sich aber bedeutend durch die eben ge- 

 machte Bemerkung. Danach l)rauchen wir nämlich nur die Gruppen der 

 Ebene in Betracht zu ziehen, die eine gewöhnliche Differentialgleichung 

 zweiter Ordnung invariant lassen. Nebenbei bemerkt sieht man hieraus, 

 dass ein Curvcnintcgral I = If (j, (t, !/')d.r niemals eine unendliche Gruppe 

 gestatten kann.' 



Gestattet nun eine Differentialgleichung zweiter Ordnung eine con- 

 tinuirlichc Grupjjc (von Punkttransformationen), so sind nacii den Unter- 

 suchungen von Sophus Lie nur die folgcnrlen Fälle möglich: 



i) Die Grupjic ist älinlicii mit der achtglicdrigen Gruppe 



I p, q, nj, .rp, ijp, i/q, :,Pp + Xj/q , .njp + ißq . 



2) Die Gruppe ist ähnhili mit der dreigliedrigen Gruppe 



II p , 2.1p -f !/q , y'p -\- .njq . 



3) Die Gruppe ist ähnlich mit der Gruppe 



III J> + 'J , •!> + UV . '-P + >ß<l ■ 

 .4) Die Gruppe ist ähnlich mit der Gruppe 



'V p,q, .rp + (..-\-l,)q. 



5) Die Gruppe ist äiinlich mit der Gruppe 



V ;'. '/. '7' + '7/7 - '• + o . '•+<», <• + ! . 



6) Die Gru|)pe ist ähnlich mil der Gruppe 



VI 



;', V 



' Eine ïhnlicheBcnicrkunK R'H UbcrlMiipl filr jedes rurvcninleKral / = J/ (x. y, 1/' 1/" . . »/") dx. 

 Kt Ul »clbslver»län<ilich vomiubcscIzI, d.iss (l:is Integral J / (x, ;/,»/') f/,r in 1/' nicht 

 liDcar i>t. 



