1902. No. 7. UEBER UIE MAXIMA UND MINIMA DER .INTEGRALE ETC. 5 



7) Die Gruppe ist ähnlich mit der Gruppe 



VII p, xp + yp . 



8) Die Gruppe ist ähnlich mit der Gruppe 



VIII p . 



Es ist nun leicht zu verificieren, dass die Gruppen (1) und II über- 

 haupt keine Integralinvariante von erster Ordnung besitzen. Ferner geben 

 auch nicht die Untergruppen von (I) und (II) Anlass zu Variationspro- 

 blemen, die nicht unter den übrigen Gruppen III — VIII behandelt werden. 

 Wir brauchen daher nur diese letzten Gruppen zu betrachten. 



I. Wir fangen mit der Gruppe 



III p-\-(l, a^li + yq, x^p-]-y^q 



an. Zur Bestimmung fier Integralinvarianten der Form I ^ JSJ {x, y, y') dx 

 dieser Gruppe bilden wir nach Sophus Lie die folgenden linearen par- 

 tiellen Difterentialgleichungen 



' ^' ~dX~^ dy ° 



' dx ' -^ dy di2 



Aaf ^ X" ~ -\- y^ ~- -\- 2 ill — x) v -h- — 2XS2 -^ 

 ' dx ^'' dy^ ^-^ '-^ dy da 



und suchen ihre gemeinsame Lösung. Die erste Gleichung zeigt, dass f 

 die Grösse x und // nur in der Combination u^x — y enthält. Die 

 beiden letzten Gleichungen erhalten durch Einführung von u als Variablen 

 statt X und y die Form 



df df 



dy ^ 31' 



•' du ' So 



