Einige zahlentheoretische Probleme 
von 
A. Palmström. 
k seiner Zahlentheorie erwähnt Lucas als Beispiel unter Multipli- 
kation zwei Zahlen, jede von Io Ziffern, die so beschaffen sind, dass 
das Quadrat jeder auf dieselben 10 Ziffern endigt wie die Zahl selbst. 
Diese Zahlen sind 8212890625 und 1787109376. Diese Zahlen sind 
später Gegenstand einer Frage von Æ. B. Escott in «IIntermédiaire des 
Mathematiciens» für 1896 gewesen. Er wünscht einen Beweis dafür, 
dass die erste Zahl mit den letzten 10 Ziffern von 52" * (» > 10) 
geschrieben wird und dass die zweite Zahl mit den letzten 10 Ziffern 
von 25".4 (z>>10) und von 3.5?"*!-3 4 1 (z>>5) und endlich von 
gar * (2! —r)tr (>10) geschrieben wird. Hinsichtlich dieser 
Sätze habe ich in derselben Zeitschrift für 1897 bewiesen, dass der erste, 
zweite und dritte richtig sind und dass sogar in jedem Falle 7 —9 und 
# — 10 sein kann, während der dritte Satz falsch ist. 
Wir wollen uns mehr allgemein die Aufgabe stellen diejenigen 
Zahlen von p Ziffern ( eine beliebige ganze Zahl) zu finden, deren 
Quadrate auf dieselben 2 Ziffern endigen, mit denen die Zahl selbst 
geschrieben wird. Eine solche Zahl x, muss der Gleichung: 
2 = p 
4p — %=).10 
genügen, wobei y eine ganze Zahl ist. Die Gleichung lässt sich 
schreiben: 
Xp (%— 1) = y. 10". 
Vid.-Selsk. Skrifter. M.-N. Kl. 1900. No. 3. 
