1900. No. 3. EINIGE ZAHLENTHEORETISCHE PROBLEME. 7 
HE sp —1 
Wir können A= ala) " 
setzen, wobei » eine beliebige ganze Zahl, und y eine beliebige nicht 
durch 5 teilbare ganze Zahl ist. Denn nach dem bekannten Satze von 
Euler ist in diesem Falle 2’« — 1 durch 5” teilbar. Für y=1, m=1 
5p—1 
hat man A=2'° 
Man kann auch  4—=58+1—108— (59) "+1 
setzen, wobei 3 und 7” beliebige ganze Zahlen sind und Å eine ganze 
ungerade Zahl. Denn (56)” "*—ı ist in diesem Falle durch 2" teil- 
bar. Ist å von der Form 4» + 1, so ist auch GN — 1 durch 2” 
teilbar und man kann in diesem Falle: 
A= 10"B — (56) 
=f 
op der 
setzen, vorausgesetzt dass 2-2,» = ist, wenn Å nicht durch 5 teilbar 
ay. ; —2 
ist. Man kann zum Beispiel wenn p> 3 ist 10B=2". Da > dei, 
n=1 setzen und bekommt dann: 
A= 5 (2 9 de vie 
Auf dieselbe Weise sehen wir, dass die Zahl Da (co 1) +1 
auf dieselben 5 Ziffern endigen, mit denen 2,’ geschrieben ist, und dass 
dasselbe für 5” gilt wenn p > 3 ist. 
Die Aufgabe, die wir jetzt für das Zahlensystem gelöst haben, 
dessen Grundzahl 10 ist, können wir uns auch für andere Zahlensysteme 
stellen. Wenn die Grundzahl, g, eine Primzahl ist, giebt es keine Zahl 
von 2 Ziffern, die der Gleichung: 
22 —x=y.£? 
genügt, wenn y eine ganze Zahl sein soll. Denn ist g eine Primzahl, 
so wird der letzten Gleichung nur dann genügt, wenn: 
a oder wenn: x=v 
x—I1=4% x— 1 = W£?, 
wobei z und z einerseits, v und w anderseits ganze Zahlen sind, deren 
Produkt gleich y ist. Diesem Gleichungssysteme wird ausser von 
x=ound r=1 nur von Zahlen, die mehr als 2 Ziffern haben, genügt. 
Ist g die Anzahl der Zerlegungen von g in das Produkt zweier 
Zahlen, die relativ prim sind, so giebt es, ausser o und 1, 2g Zahlen, 
die kleiner sind als g?, welche der Gleichung 
a? — x= yg? 
genugen, 
