1900. No. 3: EINIGE ZAHLENTHEORETISCHE PROBLEME. 9 
Ist z.B. g=30 und setzen wir 4=2, so können wir die folgenden Gleichungssysteme 
aufstellen: 
ye x=93 X— 253 æ— 362 x = 1002 x —225% 
x—1=225% x 11004 x—I1=36m% x—l1=254% x—1=94 x—1=44% 
und hieraus ergeben sich fir x die Werte 
676, 801, 325, 576, 100, 225. 
Mehr allgemein können wir uns die Aufgabe stellen, diejenigen 
ganzen positiven Zahlen x< g? zu finden, die der Gleichung: 
ax? + dx + co =yg? 
geniigen, wenn 62 — 4ac=d? = eine Quadratzahl ist. 
Å a : ae: b + 
Es sei @ der grösste gemeinsame Divisor von å und —— und 
b+d b—d 
A=0.0 > 2 = aß, ’ 2 = a,ß 
a, und £, sind dann ganze Zahlen und auch 8; denn es ist 
Bed 2ac ae 
III ARE: 
Da a, und £, relativ prim sind, muss ~ eine ganze Zahl sein. 
Wir können immer voraussetzen, dass a positiv ist, so dass « und 
a, auch positiv gewählt werden können. 
Es ist (ar + B) (a,2+ 8) = ax + (a8, + 0,84 88, 
=ax+ bx + c 
und die Gleichung ax? + dx + c= yg? 
kann somit auch so geschrieben werden: 
(ax + 6) (a,¥ +8) = IE”. 
Wir setzen zuerst voraus, dass a, 6 und c keinen gemeinsamen 
Divisor haben. Dann haben auch a und å keinen gemeinsamen Divisor. 
Weiter wollen wir vorläufig voraussetzen, dass a und a, relativ prim sind 
und auch dass d und g keinen gemeinsamen Divisor haben. Sind dann 
g, und g, zwei Zahlen, die relativ prim sind und deren Produkt gleich 
g ist, so wird die Zahl x zwei Gleichungen von der Form: 
ax + B= 2g," 
at, =ug, 
