10 A. PALMSTROM. M.-N. KI. 
geniigen miissen, wenn der Gleichung 
ax? + bx-+ c= yg? 
genügt sein soll. s und # müssen der unbestimmten Gleichung 
ag fu — ag, —d 
geniigen. 
Von den verschiedenen Wertsystemen von z und z kann nur eins 
benutzt werden, weil x<g? sein soll. Ist nämlich z,, 2, ein Wertpaar 
von # und z, so sind alle anderen Werte bestimmt durch die Gleichungen 
u=u Hag" 
2=2, + ag, 
wobei ¢ eine ganze Zahl ist. Wird der Wert von z in die Gleichung 
ax+ B=a2g," 
eingesetzt, so nimmt diese folgende Form an: 
pay ree tific | 
a 
und ergiebt somit nur einen positiven Wert von 7< g?. 
P„ 
2,—Pß. 2 : 
HA ist eine ganze Zahl. Denn es ist: 
Lit SEE 
a a, 
und a und a, sind relativ prim. 
Ist g die Anzahl der Zerlegungen von g in das Produkt zweier 
Zahlen, die relativ prim sind, so giebt es im allgemeinen 2g + 2 Zahlen 
kleiner als g?, die der gegebenen Gleichung genügen. Man kann näm- 
lich auch g,=1, g,= oder g, =g, g,=1 setzen und erhält dann 
zwei Werte für x Es kann aber eintreten, dass eine dieser Lösungen 
oder beide für jeden Wert von 5 denselben Wert haben. Ist z. B. 
a,=1, 8, =0 oder negativ und setzt man 
ax + =3& 
+ +B, =ug? 
so wird diesen Gleichungen nur von # —0, x= — 8, genügt. % 
Haben a und g, oder a, und g, einen gemeinsamen Divisor, so 
ergeben die Gleichungen 
