1900. No. 3. EINIGE ZAHLENTHEORETISCHE PROBLEME. 15 
Es sei / der grösste gemeinsame Faktor von P und g,, m der 
grösste gemeinsame Faktor von P und g,. Sollen dann die letzten 
Gleichungen möglich sein, so muss £,m durch / teilbar sein, dass heisst 
&, muss durch / teilbar sein. Hat nämlich g, einen Faktor, /,, der 
auch Faktor von 9 ist, so lehrt die Gleichung 
aG,p — a,Gy= 1. 
dass À nicht Faktor von G; sein kann, und die Gleichung 
22 = kG, 
dass 7, Faktor von #, sein muss. Auf dieselbe Weise sehen wir, dass 
3 h D De 3 : 
k durch m teilbar sein muss. 227 und #2 müssen somit ganze Zahlen 
1G mG, 
1 2 
sein, und umgekehrt, wenn dies der Fall ist, wird den beiden Gleichungs- 
systemen für denselben Wert von æ genügt. 
Haben « und «, einen grössten gemeinsamen Faktor y, so darf 
dieser nicht Faktor von g sein. Wir haben uns nämlich noch nicht 
von der Bedingung frei gemacht, dass @ und 8 relativ prim sein sollen. 
Ist a— «y, a, =a,'y, d=d und setzen wir 
a'yn + B = 5,0 
ay <= Bi = E44; 
wobei ¢, 2, = g? ist, so müssen 2 und % der Gleichung 
a'g,u — a, g,2 = d" 
genügen. Setzen wir zuerst voraus, dass g,, g, und 4’ keinen gemein- 
samen Faktor haben und ist z, ein Wert von z, der der letzten Gleichung 
genügt, so sind alle anderen Werte von z durch die Gleichung 
e=2,+ a'g,t 
gegeben. Es muss somit 
aya + B= 8,2, + 0S, £0t 
4 
. g ===" 
sein, oder yx eto ! ER 
å a 
a 
ist eine ganze Zahl, denn es ist 
a’ (2,4, — Al = a, (8, a, P) 
und a’ und a,’ sind relativ prim. 
