4 | CARL STORMER. M.-N. KI. 
D'abord j'ai complete en certains points les recherches de M. Jordan 
et ensuite j'ai appliqué les deux théorèmes de la moyenne aux intégrales 
définies å m dimensions. 
Des résultats obtenus j'ai tiré des théorèmes d'existence pour de 
grandes classes d’intégrales définies généralisées. 
Cela fait, j'ai esquissé les traits fondamentaux de la théorie des inté- 
grales les plus générales contenant analytiquement un paramètre k. 
J'ai cherché dans quelles conditions l’intégrale elle-même est une 
fonction analytique de ce paramètre et j'ai étudié son prolongement 
analytique et ses coupures. Enfin j’ai traité un problème analogue à un 
problème sur les séries de puissances, posé pour la première fois par 
Abel! et résolu par lui dans son remarquable théorème sur la continuité 
de la série de puissances?. La méthode d'Abel s’applique en effet aussi 
à ces intégrales å m dimensions et j'ai ainsi réussi à trouver trois cas 
très-généraux où on a, pour les intégrales générales, des théorèmes com- 
plètement analogues au théorème d’Abel sur les séries. 
A l’aide de ces résultats, j'ai réussi à rendre rigoureuse une indi- 
cation de Cauchy relative aux intégrales å n dimensions contenant 
un paramètre, indication qui a une de la ressemblance avec certaines 
méthodes pour chercher la valeur d’une série, méthodes dont Abel parle 
dans une lettre à Holmboe®. 
J'ai ensuite tiré parti des résultats ainsi obtenus pour traiter dans leur 
plus grande généralité les intégrales de Fourier pour des fonctions à n 
variables, En suivant, pour étudier ces intégrales, une méthode de Cauchy, 
j'ai démontré une série de théorèmes qui peuvent être très-utiles, je crois, 
dans leurs applications à la physique mathématique. Comme corollaires 
de ces recherches j'ai retrouvé les résultats de Weierstrass4 relatifs à la 
représentation des fonctions continues par des fonctions analytiques et j'ai 
généralisé ces résultats en les étendant aux fonctions de » variables réelles. 
Enfin, j'ai appliqué mes résultats å la méthode de Cauchy, déjà men- 
tionnée; et j'ai réussi à la rendre rigoureuse. De plus, ces considérations 
permettent de tirer des conclusions très-intéressantes sur la nature ana- 
lytique des solutions des équations aux dérivées partielles, auxquelles la 
méthode peut s’appliquer. 
! Lettre å Holmboe, Œuvres Complötes, Edit. Sylow et Lie, T, II, p. 257 et 258. 
2 Recherches sur la serie du binôme, Journal de Crelle T. I, 1826 et édit. Sylow et Lie, 
T. I, p. 223 (Théorème IV), 
SUG. 
Math. u. Naturw, Mitt, aus den Sitzungsb. der Königl, Preuss, Acad, d, Wiss, zu Berlin 
1885. 
