1903. No. 4. SUR QUELQUES RÉSULTATS ETC. 5 
Comme application, j’ai ensuite considéré le système d'équations de 
Maxwell, traité par M. Birkeland et j'ai réussi à démontrer sous quelles 
conditions le résultat de Birkeland est exact. 
Il découle de la méthode même, que ce résultat est valable dans un 
domaine plus grand qu’il n’est nécessaire pour les applications aux phéno- 
mènes physiques. 
L'application aux équations de Maxwell sera exposée dans un autre 
mémoire qui paraîtra dans les Archives de Genève. 
1. Théorèmes généraux sur les intégrales å n dimensions. Pre- 
mier et second théorème de la moyenne. Théorèmes d’existence. 
Dans ce qui suit, nous conservons les notations de M. Camille Jordan 
(Cours d'Analyse I) et nous supposons connus les principaux résultats 
obtenus par lui. Rappelons la notation de l'intégrale par excès et de 
l'intégrale par défaut: 
Soient &, ...%», n Variables réelles assujetties à appartenir å un 
domaine parfait, borné et mesurable Æ et soit f (x,,...2,) une fonc- 
tion réelle, qui a une valeur finie et bien déterminée pour tout système 
2 ...%, appartenant à Æ et qui est bornee dans Æ et sur sa fron- 
tiere. Decomposons Æ en domaines élémentaires mesurables e,, e,,... 
et désignons par M, et m; le maximum et le minimum de f (x; ...x,) 
dans er. Cela posé, considérons les sommes 
S = > Me 
et 
S = XM 
Alors, d’après un théorème fondamental de M. Darbouxt, si l’on fait 
varier la décomposition en éléments, de telle sorte que les diamètres de 
ces éléments tendent vers zéro, les sommes S et s tendront vers des 
limites fixes, et ces limites sont appelées respectivement Z'intégrale par 
excès et l'intégrale par défaut de la fonction f (x,...%,) dans E, et 
sont désignées par des notations 
(D 
SEE cot) GE 
E 
et 
1 Annales de l'École Normale (2) 4, p. 64 (1876). Voir aussi l’Zncyclopedie der Mathe- 
matischen Wissenschaften, Theil I, Band II, p. 96, 
