6 CARL STORMER. M.-N. KI. 
Dans le cas où l'intégrale par excès est égale à l'intégrale par défaut, 
la fonction f(x, ...%,) est dite znZegradle dans le domaine Æ et Ja valeur 
commune des deux intégrales constitue l'intégrale dans le sens ordinaire 
du mot et on la désigne par la notation 
Sf... tn) de 
Comme chez M. Jordan, on étend aisément ces définitions au cas 
où le domaine D n’a pas une étendue mesurablel. 
Relativement à ces intégrales générales, il y a une proposition qui 
joue un rôle préponderant dans nos recherches. C’est un théorème 
énoncé par M. Jordan et relatif au calcul d’une pareille intégrale par inté- 
grations successives. M. Jordan l’a démontré pour des intégrales doubles 
seulement, mais il ajoute qu’un raisonnement tout pareil suffit pour le 
démontrer dans le cas général. Ce théorème, que nous désignerons dans 
ce qui suit sous le nom de théorème de M. Jordan, peut s'énoncer ainsi: 
Théorème de M. Jordan. 
Soient 
Ada Fitte (eg: Gog UN apr aa UP 
n variables réelles (s + 5 =n) assujettées à appartenir à un domaine 
borné, parfait et mesurable E, et soit 
Plan, Las ++ Xn Yr» Vas ++ Un) 
une fonction réelle, bien déterminée et bornée dans E et sur sa fron- 
tiere. 
Les points x1, ... x, appartenant à E forment en soi un ensemble 
borné, que nous appellerons D. Cet ensemble peut être mesurable ou 
non. Soll |, Ë,, ...Ë, un de ses points. Les valeurs de y,, ... y, qui 
associées a E1, ...&, donnent des points de E forment aussi un ensemble 
borné que nous allons désigner par Eg.  Posons 
(CU 
„6 Gu ++ I Vas + Yo) de = JE, Es, ++ Eg 
(2), . 
SPEL En ++ Ess Yar ++ Yo) de = Jj (Es, Sa, ++ Eg 
E 
Alors J(E,, ... Ej) et j (E15 ...E,) seront des fonctions bornées et 
bien déterminées dans D, selon le théorème de M. Darboux, complété 
I Cours d'Analyse I, (1893), p. 35. 
