8 CARL STØRMER. M.-N. Kl. 
Parmi les nombreuses applications de ce théorème, citons seulement 
la conséquence suivante, dont nous aurons besoin plus tard et qui découle 
des égalités 
ly = hp 
et ly = I» 
å savoir que: 
Le fait que f (a4, ... %y Yi, +++ Yo) est intégrable dans E en- 
traine pour le domaine D l’integrabilite de chacune des deux fonctions 
JB: Ear +++ Eg) LI (ss Ear --- Ee 
Cela posé, rappelons comment M. Jordan introduit la notion d"znté- 
grale définie généralisée pour le cas où la fonction à intégrer ne reste 
pas bornée dans le domaine d'intégration, ou bien dans le cas où le do- 
maine n’est pas borné, | 
Considérons d’abord le cas d'un domaine borné. Soient comme au- 
paravant æ,, ... Zn, n Variables réelles assujetties à appartenir au domaine 
E, supposé borné, mesurable et parfait. Soit f (x,, ... æ,) une fonction 
réelle, finie et bien déterminée pour tout point æ, ... 2, å l'éntérieur 
de E et dornee dans chaque domaine E’, intérieur à Æ et sans point 
commun avec la frontière de Æ. Nous pouvons à priori supposer que 
la fonction est bien définie et bornée pour tout point à l’intérieur de Æ. 
En effet, s’il y avait un nombre fini ou infini de points à l’intérieur 
de E, pour lesquels f(x, ... x,) ne serait pas bien définie et bornée, on 
pourrait prendre comme nouvelle frontière de Æ l’ensemble des points 
de l’ancienne frontière et des points d’exception à l’intérieur de Æ?, Cela 
posé, supposons qu’il existe une limite finie The jouissant de la propriété 
que, quelque petit que soit le nombre positif d, on peut assigner un autre 
nombre positif &, tel que 
(5) (J) 
IT —8 fy... m)del<a 
(7 = 1 ou = 2, selon que l'intégrale est prise par excès ou par défaut) 
x 
pour chaque domaine parfait et mesurable Z’ à l’intérieur de E et sans point 
commun avec la frontière de Æ, pourvu que l’écart maximum des points 
de la frontière de E’ å la frontièrel de Æ reste moindre que eg. Alors 
I” est prise pour définition de l'intégrale définie généralisée de f(x, ...x,) 
dans Æ et on écrit, par convention, 
1 On pourrait aussi remplacer cette condition par celle que l'étendue de HW’ diffère de 
l’étendue de Æ d'une quantité <Eÿ- 
? Jordan, Cours d'Analyse II (1894) p. 76. 
