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Ces définitions admises, je vais citer quelques théorèmes généraux 
auxquels je suis parvenu. 
D'abord le premier théorème de la moyenne, bien connu pour des 
fonctions intégrables, s'étend sans difficulté aux intégrales par excès et 
par défaut. On a en effet 
Théorème 1. 
\ 
Soient n variables réelles x,, ... x, assujetties à appartenir à un 
domaine E parfait, borné et mesurable, et soient w(&,, ...a,) et 
P(X, ++. En) deux fonctions réelles de x, ...xn bien définies et bornées 
dans E et sur sa frontière; 
supposons que la fonction p(&,, ... Xn) ne Soit negative pour aucun 
point de E; 
alors Vintégrale 
(J) 
5 W (ey, ++ mm) pes --: Dy) de 
ne sortira pas de l'intervalle compris entre 
(3) 
M.S ol, «=o Dy) de 
E 
et 
(7) 
m.S pris...) de 
E 
où M et m sont le maximum et le minimum de W(x;, ... x.) dans E, 
On étend ce théorème, convenablement modifié, aux intégrales définies 
généralisées. Mais n’ayant pas besoin de cela, nous nous abstiendrons de 
citer de résultats à cet égard. 
Le second théorème de la moyenne, dû à M. Bonnet}, admet aussi 
des généralisations très-utiles aux intégrales å n dimensions. 
En effet, en appliquant le théorème de M. Jordan et en utilisant 
comme M. Bonnet un important lemme d’Abel?, je suis parvenu au 
théorème suivant: 
Théorème 2. 
x 
Soient n variables réelles x1, æ,, ... Xn assujetties à appartenir à 
un domaine E parfait, borné et mesurable, et soit y une quantité non 
négative déterminée par l'équation 
Port tort... +22 «Ze Zu); 
1 Voir l'Encyclopædie der Mathematischen Wissenschaften Theil I, Band Il, Heft I, p. 98. 
2 Voir p. ex. Emile Picard, 7raité d'Analyse I 1891, p. 201, 
