1903. No. 4. SUR QUELQUES RÉSULTATS ETC. II 
soient vr, et ry le minimum et le maximum de r dans le domaine E et 
soit r, une valeur quelconque de v (telle que x,, ... x, appartiennent 
à E) dans l’intervalle 
Ta a 
soit enfin Eg le domaine comprenant les points de E pour lesquels 
== re. 
Cela posé, soit F(x,, ... Xn) une fonction réelle, bornée et intégrable 
dans E, et soit w(r) un fonction de r non-croissante quand r croît de 
Va à 15; de plus supposons wir) positive et fonction continue de +. 
Alors la valeur de l'intégrale 
Syr. Fin. Do nie 
ne sortira pas de l'intervalle: 
A.w/(ra), B.w(r,) 
où A et B sont le minimum et le maximum de Vintégrale 
SE, ane oe Un) de 
Fe 
quand TE varie de ra à Ty. 
Si l’on suppose que la fonction w(r) ait une dérivée qui reste bornée 
dans l'intervalle (r,, 7»), ce second théorème de la moyenne peut-être 
établi par une formule d'intégration par parties, 
Comme d’autre part cette formule est utile pour établir l'existence 
de certaines intégrales définies généralisées å m dimensions, nous allons 
la citer et en tirer les conséquences. 
En effet, on a le 
Théorème 3. 
Soient n variables réelles x, æ,, ... Xn assujetties à appartenir à 
un domaine E borné, parfait et mesurable, et soit | l'ensemble des valeurs 
de x, (à une dimension), qui appartiennent à E. Soit & une valeur 
de x, appartenant à I et soient a et b le minimum et le maximum de x; 
dans I (il n'est pas supposé que x, atteigne a et b). 
1 Comme dans le cas d'intégrale å une dimension, traité par Weierstrass, Voir /’Ency- 
clopædie der Math. Wiss, Theil I, Band II, Heft I, p. 99. 
