12 CARL STØRMER. M.-N. Kl. 
Cela posé, soit F'(x,, ...x,) une fonction réelle, bornée et inté- 
grable dans E, et soit w(x,) une fonction de x,, réelle, bornée et admet- 
tant une dérivée ıy (x,) intégrable et également réelle et bornée, cela 
pour tout point x, dans l'intervalle 
a<a <b 
Alors, en désignant par Ex l'ensemble des points de E pour lesquels 
on a la formule 
Sy). Fa. De w 0) .S Fa, .. 2%) de + 
l 
=a) vo . (8 IB Cane eat )de)| dé 
§ 
où l'intégrale 8, peut être prise soit par excès, soit par défaut. 
De ce théorème, j'ai tiré divers théorèmes d’existence d’integrales 
définies généralisées. En effet je suis parvenu au théorème suivant: 
Théorème 4. 
Soient n variables réelles x, Ly, ... Xn assujelties à appartenir à 
un domaine E, borné, parfait et mesurable. Soient a et b le minimum 
et le maximum de x, dans E et soit ıy(x,) une fonction réelle et bornée 
de x, admettant une dérivée réelle et bornée dans Vintervalle 
vn, =— bd 
Soit enfin F (x,, .... %,) une fonction réelle bornée et intégrable 
dans chaque domaine E' intérieur à E et sans point commun avec la 
frontière de E. Cela posé, l'existence de l'intégrale définie généralisée 
ME Gas a 1) Oe 
E 
entraine l'existence de Vintégrale définie généralisée 
S we (er, cr) de 
E 
St de plus, W (x1) ne change de signe qu'un nombre fini m— 1 de 
fois dans l'intervalle (a, b) on aura l'inégalité suivante 
|Sw(e,) F(x, ...æ)de| < 2muM 
E 
