1903. No. 4. SUR QUELQUES RESULTATS ETC. 13 
où u est le maximum de |W(x,)| dans E et où M est le maximum de 
IS FW, ...zx,)de| 
= 
quand Kk" varie de toutes les manières possibles, en appartenant toujours 
à E. 
On en tire immédiatement diverses conséquences relatives à l'existence 
des intégrales de la forme 
Sw, (1) - Va (5) --- Valon). Fl, .. Zu) de 
E 
Les deux cas suivants, où l’on a des intégrales de la forme 
a; do an 
IS Wino om RER oe Sa AEE 
E 
et 
S cos a (1 — Cy) . COS ag (T2 — Cg). . . COS an (tu — Cy) F'(x,... X.) de 
E 
sont surtout utiles dans les applications. 
2. Intégrales par excès et par défaut d'une fonction de m vari- 
ables réelles, contenant analytiquement un paramètre. Premier cas, 
où le domaine d'intégration est borné et la fonction à intégrer 
également. 
Ces recherches préliminaires faites, j’ai ensuite esquissé les fondements 
d’une théorie des intégrales par excès et par défaut à n dimensions con- 
tenant analytiquement un paramètre, ‚Je suis d’abord parvenu au résultat 
suivant: 
Théorème 5. 
Soient n variables réelles %,, %y, ... Xn assujetties à appartenir à 
un domaine E borné, parfait et mesurable, et soit k une variable com- 
plexe. ® 
Supposons que, dans le plan de la variable complexe k, il existe un 
cercle c, de centre x et de rayon r,>>0 jouissant de cette propriété qu'à 
tout système %,, ... Xn à l’intérieur de E ou sur sa frontière, corres- 
aye , , . a” pe 
pond un élément analytique en k, Py 2, ...æn (k | x), défint à l’intérieur 
du cercle c, par la serie 
Leo] (x, .... Xn) v 
DA . (k—»x) (1) 
qui pour toute valeur de k å l'intérieur de c, est uniformément 
convergente par rapport à X1, ... Ly, et où le module du coefficient 
