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A wa pour toute valeur de v et pour tout systeme &, ...%, ne 
dépasse pas une limite fixe, indépendante de x, ... Xn, ces variables 
étant supposées avoir toutes les valeurs appartenant à E. 
Entre ces diverses series (1) correspondant aux divers systèmes x, ...&n, 
on ne suppose au contraire aucun lien, de sorte qu'elles peuvent, pour des 
systèmes différents de x1, ... x, représenter des fonctions analytiques de 
k entièrement différentes 
Cela posé, on aura d’abord 
Å RE A, (2; nt a Ip) +4. A," (x,, sear. Ln) (i=y—1). 
v 
où A, (Si: - Gp») € A, (71, +. + Zu) sont des fonctions de x,, ... In 
réelles et bornees dans E et sur sa frontière, et cela pour toute valeur 
particulière de l’indice v. 
De plus, l'ensemble des éléments analytiques Py x, (k |») con- 
stitue une fonction F'(x,, ... tn, k) définie jusqu'ici pour k à l’intérieur 
de c, et pour x, ...%, appartenant à E, et qui peut s'écrire: 
FENG 220) — TRUE, ee eal RE ea ae) 
où Fy (ts, ++ . tn) et Fy (21, ... Xn) sont des fonctions réelles et 
bornees de x,, ...%n dans E et sur sa frontière et cela pour toute 
valeur de k à l’intérieur de c,. | 
D'après le théorème de M. Darboux cité dans le paragraphe précé- 
dent, chacune des fonctions A,, A", Fr et Fr" admet donc dans E une 
intégrale par excès et une intégrale par défaut. Posons alors pour 
abréger: 
OE SER (9) 
8 A, (aj, de AB 2 an) de— 1, 
E E 
et 
(3) VEG BR 
S Ex (xy, - de ER SE (215: de SER Walde 
E E E 
Alors on aura 
(9) (9) 
SR cl = I, . (k— a)” (2) 
E 
I Mg 
et cette integrale sera une fonction analytique de k régulière à linte- 
rieur de c,, et définie par l'élément analytique au second membre de 
l'équation (2). 
I, nn 
