1903. No. 4. SUR QUELQUES RESULTATS ETC. 15 
En appelant cette fonction analytique I(k), on aura de plus pour 
tout point k à l’intérieur de c,: 
am I(k) D am F(x,, ...2n, k) 
m = N JE de (3) 
et pour tout chemin d'intégration x, rectifiable et de longueur finie et 
situé à l’intérieur de c,: 
| rœax = 8” ( [ren 8) ar) de (4) 
T T 
Par ce théorème, l'intégrale 
S F(x,,... 2, k) de 
E 
donne ainsi naissance a une fonction analytique /(k) associée à l’en- 
semble des éléments analytiques P,, 
définie tout d’abord seulement à l’intérieur du cercle c,. Mais il peut 
bien arriver que /(k) ait un domaine d'existence plus grand. Conside- 
Ton (4 | x) et comme ceux-ci 
rons tout d’abord le prolongement analytique de l’élément “0... cn (E |, 
Il est possible que la fonction analytique définie par cet élément admette 
un prolongement analytique en dehors du cercle c,. En tout cas, il 
existe un domaine ere „ tel que tout point de ce domaine peut être 
«À 
joint au centre du cercle c, par une courbe le long de laquelle le pro- 
longement analytique est possible. Ce domaine K, ,, comprend par 
++ Ån 
hypothèse l’intérieur du cercle c,. 
Soit K le domaine commun å tous les K, correspondant à 
tous les systèmes x, ...2, qui appartiennent à pe K dépend alors 
seulement du domaine d'intégration et non des variables x, ...æ,. En 
tout cas, Å comprend, d’après l’hypothèse, l’intérieur du cercle c,. 
Cela posé, j’ai démontré gue la fonction analytique I (k), représentée 
à l’intérieur du cercle c, par l'intégrale 
(3) 
iS) ENG ae er eae 
E 
admet un prolongement analytique partout dans K et quelle sera dans 
ce domaine également représentée par cette intégrale, de sorte que les 
formules (3) et (4) subsistent partout dans K. Il est sous-entendu alors, 
que les branches I (k) et Æ'(x, ...2,, k) se correspondent, étant définies 
par prolongement analytique le long d’une méme courbe, et cela pour 
fontesysteme a, - .. An de LE. 
