16 CARL STØRMER. M.-N. KI. 
3. Prolongement aualytique en-dehors du domaine K. Coupures 
artificielles et essentielles de l'intégrale. 
Par ce qui précède, la fonction analytique /(k) de k définie par 
l'intégrale 
(J) 
SAU ae did Wate 
E 
peut être prolongée analytiquement partout à l’intérieur du domaine K, 
et il est essentiel de remarquer gue ce domaine K dépend seulement du 
domaine d'intégration E. Il est possible que la frontière de K soit 
pour la fonction /(k) une coupure essentielle, dont tous les points sont 
singuliers et au travers de laquelle le prolongement analytique est im- 
possible. Mais, d’un autre côté, c'est un phénomène bien connu! de la 
théorie des intégrales à une dimension que la frontière de K est pure- 
ment artificielle et que par conséquent la fonction /(k) existe encore 
en dehors de K et admet un prolongement analytique à travers la fron- 
tiere de X, tandis que l'intégrale définie cesse alors d’avoir de sens. 
C'est ce qui arrive souvent, quand Æ peut-être déformé sans que 
l'intégrale change de valeur; en effet, AK dépendant seulement de E, il 
peut arriver que la déformation de Æ entraine une déformation corres- 
pondante de K. 
Par exemple, dans la théorie des intégrales complexes a une dimen- 
sion, contenant un paramètre, le théorème de Cauchy entraine que la 
ligne d’integration peut-être déformée sans que l’integrale change de 
valeur, et c’est cette circonstance méme qui sert de base aux méthodes 
de M. Goursat dans son mémoire précédemment cité. 
Dans l'étude de la fonction analytique /(k) en dehors de K, le 
théoréme fondamental et bien connu que deux fonctions analytiques ne 
peuvent pas avoir les mémes valeurs le long d’un segment de courbe 
de longueur finie, située dans un domaine de régularité commun des deux 
fonctions, sans étre identiques dans tout leur domaine d’existence, joue 
aussi un rôle prépondérant. 
4. Cas où le domaine d'intégration est borné, parfait et mesu- 
rable, mais où la fonction à intégrer n’est pas partout finie et bien 
définie. Intégrales définies généralisées et intégrales singulières. 
J'ai ensuite étendu les considérations des paragraphes précédents au 
cas où la définition originale de l'intégrale ne s'applique plus, la fonction 
I Voir p. ex. le mémoire de M, Goursat: Sur une classe de fonctions représentées par 
des intégrales définies, Acta mathematica T, 1, 
