1903. No. 4. SUR QUELQUES RÉSULTATS ETC. 17 
à intégrer ne restant plus bornée et bien définie pour tout point æ,..., 
de Æ. J'ai considéré d’abord le cas où il existe une intégrale définie 
généralisée dans le sens de M. Jordan. 
Considérons en effet le cas où les hypothèses sont les mêmes que 
dans le théorème 5, sauf qu’on ne fait aucune hypothèse sur l’existence 
des développements de la forme (1) dans le cas où &, . . . æ, est un 
système appartenant à la frontière de E. 
Cependant, nous supposons que pour tout domaine borné parfait et 
mesurable #” à l’intérieur de X et sans point commun avec sa frontière, 
toutes les hypothèses du théorème 5 sont vérifiées. 
De plus, nous supposons que l'intégrale définie généralisée 
(5) 
S F(a,,... Zu, k) de 
E 
dans le sens de M. Jordan, existe pour toute valeur de Å à l’intérieur de 
c, et que cette intégrale est une fonction de k bornée dans tout domaine 
o intérieur à c, et sans point commun avec sa circonférence. 
Enfin, l'intégrale définie généralisée ci-dessus étant définie comme 
dans le paragraphe 1, on suppose que 
(j) 
SEE (Ge an de 
E’ 
tend vers cette intégrale définie généralisée untformément par rapport a 
k dans tout le domaine ø ou, en d’autres termes, que la quantité 5 
figurant dans cette définition, sera, pour tout point k appartenant å 
indépendante de k. 
Sous ces conditions, j’ai demontré que l'intégrale définie généralisée 
est une fonction analytique de k régulière partout à l’intérieur de c,. 
Dans cette démonstration, j'ai d’abord développé l'intégrale en une série 
infinie d’integrales partielles et ensuite j'ai appliqué le théorème de 
Weierstrassl sur les séries de fonctions analytiques uniformément 
convergentes et aussi les recherches de M. Painlevé dans sa thése?. 
J'ai ensuite démontré que l'existence de l'intégrale définie généralisée 
(ÿ 
SF (Tr, ... Ga, hk) de 
E 
entraine l'existence de l’intégrale définie généralisée 
1 Voir p. ex, /'Encyclopædie der Mathem. Wiss. Band Il, 2, Heft 1, p. 21, 
2 Voir Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse 1888. 
Vid.-Selsk. Skrifter. M.-N. Kl. 1903. No. 4. 2 
