1903. No. 4. SUR QUELQUES RÉSULTATS ETC, 19 
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serait représentée par cette même intégrale partout à l’intérieur du 
domaine K. 
Ici se présente naturellement la question de savoir comment sera 
la représentation quand Å tend vers un point sur la frontière de X, en 
suivant un chemin donné. 
C'est un problème parfaitement analogue au probleme d’Abel sur 
les séries de puissances!, problème résolu par son second théorème sur 
ces séries? 
Pour fixer les idées, supposons alors que å tende vers un point #, 
de la frontière de K, en suivant un chemin I rectifiable et de longueur 
finie, situé à l’intérieur de K et aboutissant en %,. 
Supposons que la fonction F'(x,, ... æ,, ki) (c’est a dire la branche 
que nous considérons) tende vers la valeur bien déterminée Æ'(x,, ... 2n), 
quand % tend vers le point k, en suivant le chemin /, et cela pour 
tout système de points æ, ...%, à l’intérieur de E. 
Supposons de plus que l'intégrale 
0) 
Sea de 
E 
définie, soit comme intégrale définie généralisée, soit comme intégrale 
définie singulière, existe et a la valeur J,. 
Le problème est alors de décider si la fonction analytique I (hk), 
représentée à l’intérieur de K par l'intégrale 
(j) 
ISSO TO Sa Hoe, Rz 
E 
tend vers la valeur I,, quand k tend vers la valeur k,, en sutvant le 
chemin I. 
Jai d'abord, à l’aide de la notion de convergence uniforme, établi 
les conditions générales pour que lim. I (4) = I,. Ensuite, en me ser- 
vant d’un lemme d’Abel, aussi simple que fécond®, j'ai établi, dans trois 
cas généraux, l’exactitude de cette formule lim. I (4) = J,. 
Les théorèmes ainsi trouvés constituent des analogies parfaites au 
second théorème d’Abel sur les séries de puissances. Comme les énoncés 
1 Voir p. ex, sa lettre à Holmboe du 16 janvier 1826. Œuvres complètes éd. Sylow et 
Lie II, p. 258. 
2 Voir Œuvres complètes Ed. Sylow et Lie I, p. 223, Théorème IV. 
3 ibid, p. 222, Théorème III. 
