1903. No. 4. SUR QUELQUES RESULTATS ETC. 23 
point singulier de I(k) a distance finie. I(k) sera de plus une 
fonction uniforme. 
Enfin, pour tout point k, autre que k =o, I(k) sera aussi, con- 
sidérée comme fonction de x, ...,, une fonction entière transcen- 
dante de ces variables. 
Au lieu de l'intégrale de Fourier, qui n'existe pas en général, nous 
considérerons dès maintenant cette fonction analytique I (k). 
Cela posé, faisons tendre k vers Lorigine en suivant toujours l’axe 
réel positif. Fai alors établi avec toute rigueur la propriété fondamen- 
tale suivante, indiquée par Cauchy} sans démonstration suffisante: 
10052 Te point ln = 245 ko = Los 0 hn = Ty est en dehors, du 
domaine E, on aura: 
lim Z(4) =o 
k=o 
20 Std, =%,, ... dn =, est à l’intérieur de E et si f (Ay... dn) 
est continue au point x, ...%, on aura 
I A (end Er) 
k=o 
Dans le cas où ©, ...æ, est sur la frontière de E et dans le cas 
où f(y... dn) mest pas continue au point x, ...&n, les méthodes suivies 
permettent de trouver les limites, quand elles existent, mats je n'ai pas 
encore fini ces recherches. 
Enfin, dans le cas où l'intégrale de Fourier 
I ala, —A,)i an(xn—An)i 
e NE PD . 
f (Ay +++ An) de 
existe, le théorème 6 etc. suffit pour établir que lim I(k) = I,; en com- 
— Ro 
binant cela avec le résultat précédent on voit donc que 
Lo =f (3, Las... . Bn) 
quand f(A, ...4,) est continue au point &, ...%n, ce point étant à l’in- 
térieur de E. 
Par là, la théorie des intégrales de Fourier se réduit à établir 
dans quels cas ces intégrales existent. En effet, si I, existe, sa valeur 
est donnée par ce qui précède. 
La substitution à l'intégrale de Fourier de la fonction analytique I (å) 
est, je crois, d’une certaine importance dans l’application à la physique 
ı Journal de l'École Royale Polytechnique, Cahier XIX, p. 512. 
