24 CARL STØRMER. M.-N. Ki. 
mathématique, quand il s'agit s'établir les résultats avec rigueur et de 
faire les hypothèses les moins restrictives sur la nature analytique des 
fonctions qu'on considère. Dans mon mémoire sur les équations max- 
welliennes, j'espère que je ferai ressortir bien nettement cette méthode. 
Enfin, il y a lieu de mentionner ici un théorème då à Weierstrass 
et relatif à la représentation des fonctions réelles et continues par des 
fonctions analytiques! En effet, j’ai étendu le résultat de Weierstrass 
aux fonctions de n variables réelles, et en déduisant ce résultat des inté- 
grales de Fourier, j'ai remarqué une liaison interessante entre ces inté- 
grales et les recherches de Weierstrass. 
En effet, à l’aide de la méthode suivie, on trouve d’abord que si la 
fonction f (4,,...24,) est unzformement continue dans un domaine E’ 
parfait, mesurable, situé à l’intérieur de Æ et sans point commun avec 
la frontière de Æ, la fonction analytique I (Æ) aura la propriété suivante: 
Quelque petit que soit le nombre positif 0, on peut y faire corres- 
pondre une valeur positive ky indépendante de x,, Ly,... 4, et telle que 
| I (kg) — f(a «++ €n) | 8 
pour tout point x,...x, du domaine E. 
Comme d’autre part I (Æ), pour toute valeur de Å autre que zéro, 
est une fonction entiére transcendante de &,, 4, ...4», on peut, en 
arrétant le développement en série å un terme suffisamment éloigné, 
déterminer un polynöme 
TE EE cinta 0 22) 
dont le degré et les coefficients ne dépendent que de ks, c’est-à-dire que 
de d, et qui aura cette proprieté, que 
| I (ks) — P3(a,, PATES Ln) | <0 
pour chaque point æ, ... 4, de E’ et la série pour I (ks) étant uni- 
formément convergente dans Æ", on peut supposer que ce polynôme est 
le même pour tous les points æ, ... a de E’, 
Par conséquent, on aura 
[Ca PA ee 
partout dans Æ", d’où on tire aisément le 
Théorème 8. 
\ 
Soient n variables réelles x,,...x, assujetties à appartenir à un 
domaine E, borné, parfait et mesurable, et soit f(x, ...2,) une fonction 
! Voir I, c,, dans l'introduction, 
