14 



AXEL THUE. M.-N. Kl. 



pAx + qBij + rC^ = Tpqr + o 

 hvor _ 



^^Q<\lW\ 



Er nu ingen av de j pqr \ rester q lig nul, maa to af dem — q, og o,, — 

 være lige store, og man faar de to ligninger: 



pAx, -f- qBt/, + rO, = T, pqr + q, 

 pAx„ + qBy„ + ?•C^„ = T„pqr + o,, 



hvor X,, I/, og z, og ligesaa a*,, , //„ og z„ danner et sæt i vort system, 

 medens T, og T„ er to hele tal. 



Subtraheres de to ligninger fra hinanden, faaes: 



pÄ[x-x,^ + qmy.-y^^ + rC[.^-.r,,] = [T-T,,]pqr 



Sættes 



x, — x„='i, y, — l/„ = rj og ^, — ^„ = Ç 



7;.4^ + gß»j + tCl = A^^^gr (6i) 



hvor 



lbl^VTs^> 'i»;I^Vh7^> I^I^Vli^sl 



Er en af resterne o lig nul, saa har dens tilhørende ligning samme 

 karakter som (6i). 



Af (6i) faaes nu til ex. 



pA^ + qBrj^[Npq-a]r 

 eller 



^;2^42|2 _ ^2^2^2 _ []s;pg_ _ c:] [pA^ + qBr^l r = Hr 



hvor Æ^ er et helt tal. Af (55) faaes videre: 



pA'~-{-qB^ = [D2)q — C^]y 

 eller vi faar at 



pA^[p^^ + q,l^'] 



blir delelig med ?" og altsaa ogsaa jj^- + qtr eller ^^^ + qif + '"s^- 



Dette sidste udtryk maa altsaa paa grund af symmetrien være delelig 



med baade r, q og p, og altsaa ogsaa, da p, q og r er indbyrdes primtal, 



med pqr. 



Var ikke talværdierne af p, q og r alle tre kvadrattal, kunne relationerne 



(56), (57), (58) og (60) henholdsvis forbedres til følgende: 



r- < I qr I 

 rr < 1 »7> I 



\S\<\p\-]-\q\-}-\r\ 



