§ 1. 



I^e théorème de Goldbach est bien connu: On peut écrire tout 

 nombre pair comme la somme de deux nombres premiers. Euler dans 

 une lettre de 1742 a ccrit: -Ich halte dies für ein ganz gewisses theorema, 

 ungeachtet ich dasselbe nicht demonstrieren kann.« Ce théorème n'a pas 

 encore été prouvé, et il en est de même du théorème suivant: La suite 

 des »nombres premiers jumeaux<- ' est illimitée. E. Landau dans un dis- 

 cours, fait au congrès international des mathématiciens à Cambridge en 

 1912, a dit qu'il tient ces problèmes pour »unangreifbar beim gegenwärtigen 

 Stande der Wissenschaft«. 



On a pourtant maintenant un point de départ pour le traitement de 

 ces problèmes, après qu'on a découvert que les nombres premiers de 

 Goldbach et les nombres premiers jumeaux peuvent être déterminés par 

 une méthode analogue à celle d'Eratosthène. Le premier qui ait attiré 

 l'attention sur ce fait est Jkan Merlin-. 



La méthode consiste en un emploi double du crible d'Eratosthène. 

 Soit p. ex. à décomposer le nombre pair 26. Nous écrivons les deux 

 suites de nombres suivantes: 



1 2 -i 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1.3 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 

 26 25 24 2;î 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 ^ ± ^ ^ ^ 



Les nombres premiers au-dessous de ^'2H sont 2, 3 et 5. Alors nous 

 effaçons les nombres de la forme 2/. et 'àl et 5/. dans nos deux suites. 

 La somme d'un nombre de la première ligne et le nombre immédiatement 

 au-dessous de la deuxième ligne est 26. Si ces deux nombres sont non- 



' C'est-à-dire les couples des nombres premiers ayant la différence 2. Voir P. Stäckel 

 dans „Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie, Abt. A, Jalirg. 19 16, 10 Abb. 



2 Voir Bulletin des Sciences mathématiques T. 39, i partie, 191 5. Voir aussi Viggo 

 Brun dans „Archiv for Mathematik og Naturvidenskab" 1915, B. 34, nr. 8: „Über das 

 Gjldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare." 



