1920. No. 3- LE CRIBLE d'eRATOSTHÈNE ET LE THÉORÈME DE GOLDBACH. 



Les séries s'étendent de à rr. D désigne un nombre entier, premier 

 avec les nombres premiers px, P-Z' ■ • ■ l>v (successifs ou non, mais diffé- 

 rents). 



J et iti, fi'>, ... ((r sont des nombres entiers: 



Nous posons le problème suivant: 



Combien la première ligne contient-elle de termes différents de tous 

 les termes des autres lignes? 



Nous désignerons ce nombre par 



N{J, D, X, (li, pi, n.y, p.;,, . . . ^r, i>x) 



ou souvent plus brièvement par 



XiD, X, pi, P2, • . . 7>r). 



Nous obtenons la formule fondamentale: 



X(J, D, X, (II, Pu.. .ar,Pr) = 

 = A' iJ, 1), X, r/i, pi, . . . a,_u Pv~ï) — N{J', Dp,, x, du pi, . . . f/r-i, Pr-\) 

 où 



0<J'^ Dpr 



ou plus brièvement: 



X{D, X, J)i, P2, . ■. 7^r) = 



y{D, X, Pu p.,, . . . p,-]} — N{D-Pr, X, Pu P'2, . . . Pr-l) (l) 



en étudiant d'abord nos séries arithmétiques jusqu'à la série ac-i-\- k])r-j, 

 et en ajoutant alors la série (!,-{- Ipi-. Supposerons connu N{J, D, x, 

 "\, Pi, . . ■ "r-i, Pt-\). Nous en déduissons N{J, D, x, (lu ]>i, . . • «r, P>) 

 en soustraissant le nombre des termes de la dernière série, qui sont iden- 

 tiques aux termes de la première série, mais non-identiques aux termes 

 des séries intermédiaires. 



Nous voyons que ce nombre est égal à X (J', iJ- pi, x, (ii, pi, . . . Pv-\) 

 en remarquant, que les termes de la dernière série o„ -j- ).pn qui sont 

 identiques aux termes de la première série J -\- a ■ D sont les termes 

 entre et a: de la série arithmétique: 



J' J' + D-pr: J'^^Dpr J'-h'-iOpr J' -\- ^ D ■ pt 



OÙ 



<J' ^D Pr 



J' étant le terme positif, le plus petit de la série. 



