VIGGO BRUN. M.-N. Kl. 



L'équation indéterminée 



(Ir + lPr=^ ^ + ."-^-^ 



OU 



lltX D^l = J flr 



a, comme on sait, toujouis des résolutions, parce que pr et D sont pre- 

 miers entre eux. Les résolutions sont: 



A = Ao + ^ £> 



(.1 = ;f<o+ < • Pt 



quand l^, ito sont des résolutions et quand t parcourt les valeurs 0, + 1, 

 ±2, ... . 



Les termes de la dernière série qui sont identiques aux termes de la 

 première série sont alors tous les termes 



(Ir + IPr = CIr + hpr -}- tD ■ Pr OÙ ^ = 0, ± 1 , ± 2, . . . 



Ce sont les termes d'une série arithmétique, ayant la difference D-j^t- 

 Nous définissons spécialement N{J, D, x) ou brièvement N{D, or) 

 comme le nombre des ternies entre et ^ de la série 



J J -\- D z/4-2i> J -{-3D . . . J i-lD 

 où 



o<:j<:d 



J + ÀZ)<a:<.J+a+ ])D. 



Nous en déduissons 



/ -f- 1 = N{D, x)=^. + e ou — 1 <Ç Ö < 1. 



Nous donnerons un exemple en choisissant: 

 j ^2 /) = 7 .X = 60 «1 -- 2 pi = 2 (10=1 P> = ^ <H = 4 Pi = 5 

 (A) 2 ('?) 16 23 30 37 (44) 51 58 



(D) 4 9 14 19 24 29 34 39 44 49 .54 59 



Les nombres de (A) qui sont différents des nombres de (B) et (C) 

 sont 9, 2.3, 5L Ajouterons alors la série (D). Les nombres identiques 

 de (A) et (D) sont 9 et 44, ayant la différence 7-5. Nous obtenons alors: 



i\^(7, 60, 2, 3, 5) ^ N{1, 60, 2, 3) — .V(7-5, 60, 2, 3) 

 ou 



2 = 3 — 1 



