1920. No 2. LE CRIBLE d'eRATOSTHÈNE ET LE THÉORÈME DE GOLDBACH. 



De la formule (i) nous déduissons les suivantes: 



N{D, X, i>i, p.,, . . . Pr) = A'(/>, X) — N{I) i>i, x) — N(D p.,, x, p^) — 



— N{D-2h, X, Pu Pi) — ... — N{D-pr, X, 2h, Ih, • ■ • Pr-^) (2) 



et 



X[D, .C,pi, }>1, ... Pr) = 



X(D, x) — N{Dpi, x) — N{Dp2, x) — ... — N{D pr, x) 



-f- N{Dp.2Pi, x) 



+ XiDprPu x) + X[n Pi p.., X, pi) 



+ ^'(D ihPi, x) + ^^if^-PrP-2, X, Pi) + ^^D-pi-p^, X, 2h, P2) (3) 



+ 



+ 



+ X{D prPu x) + N(Dpr-Pi, X, p^) 4- N{D ihih, 00, Pi, p.>) + • • • + 



+ N{Dpr Pr-U X, Px, p.>, . . . Pr-'>}- 



Nous donnons à la dernière formule la forme plus courte: 



N{I), X, Pu p.,, . . .pr) = 

 =-^ N{D,x)- Z Nil) p^„x)+ H 2: X(Dp,,-p^,x,puP2,---Pb-^) (3') 



a '' r a^r b<<a 



Quand il s'agit de déterminer une limite inférieure de X{D,x,PuP-2>'--Pt), 

 nous pouvons écarter tant de termes positifs dans la formule (3) que nous 

 voulons. On peut choisir ces termes de plusieurs manières différentes^ p. ex. 

 les termes qui se trouvent à droite d'une ligne verticale. En général nous 

 obtenons la formule: 



N{D, X, Pu p,, . . . Pr) > X{D, x) - 2 X{Dp„ x) + 



a<^r 



4- ZZ X{Dpf,-27b, X, 2h, P>, ■ • ■ Ph-i) (4) 



OÙ nous avons choisi pour Pa.-2^b un domaine (Oi qui se trouve à l'intérieur 

 du domaine suivant: 



P2 ■ Pi 



Ih ■ Pi Pi ■ P-i 



Pi- Pi Pi- Pi Pi-P-i 



PvPl Pr-Pi Pr-P-A ■ ■ ■ Pr-Pr-I 



* Voir: „Nyt tidsskrift" 1918: Une formule exacte pour la détermination du nombre 

 des nombres premiers au-dessoui de .f, etc. par Viggo Brun. 



