lO 



VIGGO BRUN. 



M.-N. Kl. 



employés. Dans le terme ^kt (^ - ^ - 3 " 5 + ^.'2 + 5-2 + 5:3 (^ ~ 2)) 



il faut d'abord écarter ^— ( 1 



103 



^^ puisque —^_^_.^(1 



1 — 



0,4 .. . 



1 1 

 ""3 



est 

 I 



plus petit que 2, mais il faut aussi écarter le terme yy^ 



_|_ L _|.. _L J = 0,003 . . . puisque 103-0,003 . . . -= 3, . . . est plus petit que 6. 



Nous obtenons alors: 



X{], lii3, 2, 3, . . . 31) > 109 —52= 57. 



Nous pouvons exprimer ce résultat de la manière suivante: 



Quand nous effaçons parmi 1000 nombres tous les deux, tous les trois, 

 tous les cinq, jusqu'à tous les 31, il restera toujours au moins 57 nombres. 

 De là nous déduissons spécialement qu'il existe plus que 56 nombres pre- 

 miers entre 31 et 1000, en observant que 



.Y(l, 103, 2, 3, ...31) = 7f(103) — 7r(VTÖ3)4- 1 

 quand nous choisissons comme point de départ des effacements. 



Ici 7[{x) désigne le nombre des nombres premiers au-dessous de x. 



Ici nous avons choisi les domaines 10 de façon d'obtenir la limite 



inférieure la plus convenable. Si nous choisissons les domaines lo par le 



même principe, nous trouvons 



A^(l, 103, 2, 3, . . . 3!)> 109 — 52 -- 57 



tandis que rc (10^) — 7t(\'W'^) -j- l = 158 



.V(l, 10S2, 3, ... 97) > 820 — 284 = 536 



tandis que 7C ( 10^1 — /r ( VlO^) +1=1 206 



iY(l, 105,2,3, .. . 313) > 5733— 1862 = 3871 



tandis que 7C I lO^) — /r (Vlu^) + 1 = 9528 



Nous voulons dans la suite choisir les domaines lu par des principes 

 plus simples. Pour illustrer les principes suivis nous donnerons d'abord 

 trois exemples: 



Ex. i) 



N(\,x, 2,3, 5, 7) >:r 



1 — 



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