i6 



VIGGO BRUN. 



M.-N. Kl. 



en nous servant de la formule de Stirling: 



m ! 0~T{]/27m + d) _ i < ö < i 



Ecrivons maintenant la formule (8) d'une autre manière: 



N(D, X, pi, 2h, ■ ■ . Pr) > ^ [(1 — ^--i + V, — . . . — JL'm + ^m+l — • • • + 



+ (-i)'-^r^-(i: 



m + 1 -^1X1-2 



+ •••-(- !)'• ^r)] - R 



Nous connaissons la valeur de la première parenthèse sous forme de 

 produit. 



La deuxième parenthèse est composée d'une série de termes décrois- 

 sants, quand 



»i + 2 > ff 



et alors elle a une valeur plus petite que Zm-i-i, qui est plus petite que 

 ea 



m -)- 



Nous pouvons donc écrire: 



^ Ih^ ^ t'-i' 



N{D, X, pi, Ih, •■•Vv)>'ß 



11 n'est pas difficile déterminer la valeur de R:^ 



eo 



m-\-\ 



m+l 



— R 



\ 



^ = 1 + ( ! ) + (2) + • • • + ( ;! J < 1 + '• + '-^ + • . . + r^ < r-^+' 



Nous obtenons alors la formule: 



Å'(D, X, Pi, P2, . . . Pr) > 



X 



D ^ 



ea \'^+^ 

 w + 1 



pj V Pi 



P^ 



•m+l 



(12) 



quand 



m + 2>(7-- 1 I----H 



Pi Ih Pi 



Cette formule est plus utile que (9), la croissance de r™^^ n'étant 

 pas si grande que celle de 2"". Mais encore la croissance du terme R est 

 trop grande pour notre but. 



^ Voir p. ex. Landau: Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen I, p. 67. 



