1920. No. 3- LE CRIBLE d'eRATOSTHÈNE ET LE THÉORÈME DE GOLDBACH. 21 



les valeurs d'après (lo) sont décroissantes, puisque ly - fJm . i <Clog c(o<C 1. 

 et ayant des signes alternatifs. Nous en concluons: 



-H .S2m-2 -Si + S2m-\ '^z) ( I 7 ) 



Nous pouvons déterminer une limite supérieure pour la dernière 

 parenthèse. Elle est une somme des produits différents de [2m + 2) nom- 

 bres — , qui se trouvent tous dans les deux sommes .>>'i et E\. Mais nous 



P 

 obtenons la somme de tous les produits possibles de cette forme en for- 

 mant la somme 



(^1 + ^)2,n+2 



en calculant au moyen du schéma: 



: (2w + 2) 

 ::: lignes 



Mais d'après (ii) et (15) nous obtenons: 

 K + JTi) < f'i!^L±Zi))'" '^ (e{m -h 1) log aoY" '_ ^' log fro^'"'^' 



2m -H 2 / ^ V 2 [m 4- 1) / V 2 



Notre parenthèse (dans 17) est alors plus petite encore, d'où nous 

 concluons que 



T^ \ V ^-log«o V°'+^ (18) 



Nous obtenons alors spécialement, puisque £"1 = 1 — s^^ 

 £"1 > 1 — log «0 



ho > ^r-'-Ei — [ — ^ - > 7t.>[l ~ log «0 — «0 



2 / ^ '-n ^ " " V 2 



en nous servant de (16). En continuant de la même manière, nous obte- 

 nons à la fin: 



hn > iC.,-7tz . . . /fn ( 1 — log r^o — "" ^ 2 / ~~ 



_„„.('l°pJ..._„„n-.(lJ^f-) 



OU, puisque /q << 1 : 



/ölogao\* 

 "° \—2-l 



E, > .rrrr, . . . ,r.. | 1 - log «o - ^ ^ ^ ^^^ j^^ ^^y 

 quand ao(^f""T<l. 



