1920. No. 3. LE CRIBLE d'eRATOSTHÈNE ET LE THÉORÈME DE GOLDBACH. 



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Quand nous effaçons dans l'intervalle 71 ;? -)- V" tous les deux, tous 



les trois, etc. jusqu'à tous les />('*'') nombres, il restera donc au moins un 



nombre. Nous choisissons i> comme point de départ des effacements. Les 



nombres non-effacés ne peuvent pas être composés de 12 ou plus facteurs 



premiers, car alors il faudrait qu'un de ces facteurs soit plus petit que 

 1 2 1 1 



\)i-\-yii, et donc plus petit que ] 11 pour tous n^iio- Mais tous ces nom- 

 bres, étant divisibles par 2, H. . . ou yn"'') sont effacés. 



§ 5. 



Nous avons supposé que les nombres 



2, .3. 5, . . . pr 



dans la formule (21' soient des nombres premiers !<Hccei<sifs. 



Nous généralisons facilement en étudiant les nombres premiers non- 

 successifs 



Vl. 'h,Q3, • • ■ 'la-V 'la + V • • • 'ly-V 'A'-f 1- ■■■'h 



formant une partie des nombres premiers successifs 



Si' (ll^ (li. ■■•(la-V flw 2«+ 1 • ■ • S;-- 1. 3;'. 3;' M • • • 'h O" ^i - 2 etc 

 et obtenons comme plus haut (voir 21): 



XilJ, X, qu g,, . . . (/„_!, qa^v" Sr » > y-0,3 (^1 - ^J (^1 — -J . . . 



OU 



A' ( D, X, q,, q.,. . . g« ^ 1, g« „ 1, • . • q^.) > 



V qJ V q^ 



Nous en concluons: 



X- r. ^ 0,168 a; 1 

 ^iD,x,q,,q,,...q,_,.q,^„...q^)>JJ^~^J ^ p^ - 2 Vy^ 



1 •.• 1- 



qj V q. 



Etudions maintenant une série arithmétique, s'étendant de o à x: 



J ^ + /^ J-\-2l) j+'ôD J-\-Al)... 



J et /) étant premier entre eux. Soit 



/1 a c 



D ^ q ... g 



