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Vereinfachter Beweis eines Satzes von L. Löwenheim. 

 Verallgemeinerungen des Satzes. 



Im jöten Bande der Mathematischen Annalen hat L. Lciwenheim 

 einen interessanten und sehr bemerkenswerten Satz über die sogenannten 

 , Zählausdrücke' bewiesen. Dieser Satz sagt, dass jeder Zählausdruck ent- 

 weder widerspruchsvoll ist oder schon innerhalb eines abzählbar unend- 

 lichen Denkbereichs erfüllbar ist. Unter einem Zählausdruck versteht 

 Löwenheim einen Ausdruck, der mit Hülfe der 5 logischen Grundopera- 

 tionen, nämlich in der Schröderschen Terminologie identische Multiplika- 

 tion und Addition, Negation, Produktation und Summation, aus Relativ- 

 koeffizienten aufgebaut ist, wobei die Produktationen und Summationen 

 sich auf die Individuen allein beziehen. Die 5 genannten Operationen 

 werden bez. mit einem Punkte oder einfach Nebeneinanderstellung, dem 

 Zeichen -|-, einem Strich — . //- und ^-Zeichen bezeichnet. Löwenheim 

 beweist seinen Satz mit Hülfe der Schröderschen .Ausführung' der Pro- 

 dukte und Summen, ein X'erfahren um ein //-Zeichen vor einem ^-Zeichen 

 zu rücken oder umgekehrt. Dieses Verfahren ist aber etwas verwickelt 

 und führt dazu, dass man Individuumsymbole als Subindizes bei den 

 Relativkoeffizienten einführen muss. Ich will im folgenden einen ein- 

 facheren Beweis geben, bei welchen solche Subindizes vermieden werden, 

 und ausserdem einige Hülfsätze, die auch an sich Interesse haben; end- 

 lich stelle ich auch einige Verallgemeinerungen des L('»wenheimschen 

 Satzes auf. 



Statt von Zählausdrücken will ich lieber von Zählaussagen reden. 



Def. I. Eine ZfÜdaussage ist eine Aussage, die aus Schröderschen 

 Rclaüvkoeftizienten mit Hidfr der .7 oboif/enannten ()perafio)wn auf- 

 gebaut ist, tcohei die Produktationen und Summationen sich allein auf 

 die Individuen beziehen. 



Beispiele: i) IfxIyRxy I" Worten heisst dies: Für jedes j: gibt 

 es ein g, sodass die Relation 7v zwischen .v und g besteht. 



