TH. SKOLEM, M.-N. Kl. 



2) I^llylz (Äxy + î'xyz). I" Worten heisst dies : Es gibt ein x, 

 sodass für jedes y ein z sich so bestimmen lässt, dass entweder die bi- 

 näre Relation E zwischen x und y oder die ternäre T zwischen x, y 

 und 2 stattfindet. 



3) ^x^x.-S'y/^zÄyz'S'zx. In Worten heisst dies: Es gibt ein x, das 

 zur Klasse A gehört, und ausserdem gibt es ein y, sodass für jedes z 

 sowohl die Relation E zwischen y und ø wie die Relation S zwischen z 

 und X besteht. 



Def. 2. Eijw Zählaussage soll von der Normalform Jieissen, ivenn 

 sie so geschrieben ist, class zuerst n-Zeichen kommen, dann Z-Zeiclien, 

 und darauf ein Ausdruck folgt, der von 11- und Z-Zeichen frei ist. 

 Doch soll auch jede Zählaussage, die nur 11- oder nur Z-Zeichen enthält 

 von der Normalform heissen, luemi nur diese Zeichen zuerst stehen und 

 auf einander folgen. 



Beispiele: //xiJyÄxy besitzt die Normalform; ebenso /ZxI^y-IzlÄxy-l-'SVz) 

 nnå njJyIz.{RxyS^j.-\-Ä-s). Dagegen ist 2'x//yÄxy nicht von der Normal- 

 form. /7x {A-s. + Btl) und Z^Ajs, sind aber wieder von der Normalform. 



Satz I. Ist U eine beliebige Zählaussage, so gibt es eine Zählaussage 

 V von der Normalform so beschaffen, dass U immer und nur dann 

 innerhalb eines gegebenen Denkbereichs erfüllbar ist, ivenn U' crfällbar 

 ist, und umgekehrt. 



Beweis: Wir können zuerst eine Aussage der Form 



(l) Uii^n^^ . . . Ilx^Iy^Iy^ • • • ^y^^zx • • • /^Zp^x, ..Xm yi . . y^ z, . . z^ 



betrachten, wo 6^x,...z eine Aussage ist, die aus Relativkoeffizienten 

 unter ausschliesslicher Anwendung der 3 Operationen, identische Multi- 

 plikation und Addition und Negation, aufgebaut ist. Wir können hier 

 einen Relativkoeffizienten i?x, x v, v einführen, wobei wir 



-^'l ■ Xm, .Vi -yn ^^ ■^•^21 . ■ • /-/zp L X, .. Xm y, ..y^j zj .. Zp 



tür alle Werte von .vj . . x^x , Vi . • //n setzen, also wenn man will: 



(2) //x , . . . //x„//y , . . . /An (i?x , . . x^ y , . . y^= //z , • • • Hz^ f^'x , , . x„ y i . . y„, z , . .z^). 



Es ist klar, dass wie nun überhaupt die Relative gewählt sein mögen, 

 deren Koeffizienten in U verkommen, so gibt es innerhalb des Denk- 

 bereichs (oder genauer innerhalb des Bereichs i^^ + ii in Schröderscher 

 Bezeichnung) ein Relativ R [ni -f- n)\.&r Ordnung von solcher Beschaffen- 

 heit, dass {2) erfüllt ist. In der Tat ist ja (2) weiter nichts als eine 

 gewöhnliche Definition einer Relation R. Die Aussage (2) lässt sich nun zu 



