1920. No. 4. UNTERS. ÜBER DIE BEWEISBARKEIT MATH. SÄTZE. 



resonniert wird, sondern mehr direkt nach den gewöhnlichen Verfahren 

 der mathematisciien L.ogik vorgegangen wird.^ 



Zuerst können wir den einfachst möglichen Fall einer Zählaussage 

 von der Normalform, die doch sowohl //- wie i'-Zeichen hat, betrachten, 

 nämlich 



/7x l'y Uxy, 



wo Uxy eine Aussage ist, die aus Relativkoeffizienten mit nur x und ij 

 als Indizes mit Hülfe von Konjunktion, Disjunktion und Negation aufge- 

 baut ist. Nehmen wie nun an, dass diese Aussage innerhalb eines gege- 

 benen Denkbereichs für gewisse Werte der Relative erfüllt ist. Dann 

 können wir knift dc.'^ Ai(siC((hlj))inzii)S für jedes ,r ein eindeutig bestimm- 

 tes y gewählt denken, sodass L\y wahr wird. Das ist ja eine Auswahl 

 eines Elementes aus jeder der Klassen, die man bekommt, wenn man 

 für jedes x die y zusammenfasst, für welche Uxy wahr ist. Hierdurch ist 

 eine eindeutige Abbildung des Bereiches in sich definiert. Fis sei für 

 jedes æ x' das Bild von x. Dann ist also die Aussage L^xx' wahr für 

 jedes X für die angenommenen Werte der Relativsymbole. Wir können 



dies so schreiben: 



o 



/7x f^xx', 



wo der Denkbereich ist. Es sei a ein spezielles Individuum von 0. 

 Dann gibt es gewisse Klassen X innerhalb 0, die erstens a als Element 

 enthalten [Xa ist wahr) und zweitens immer x' enthalten, wenn sie x 

 enthalten (A'^x' immer wahr, wenn A'x wahr ist, oder m. a. W. A'x -}- A'x' 

 wahr für jedes x). Es sei nun A'o das logische (identische) Produkt 

 (Durchschnitt) aller dieser Klassen. Dann ist A'o wie bekannt entweder 

 eine endliche oder eine abzählbar unendliche Klasse (Vergl. die Ketten- 

 theorie von R. Dedekind: Was sind und was sollen die Zahlen). Weiter 

 ist aber klar, dass 



//x f/xx' 



stattfinden muss. Hierdurch ist also bewiesen, dass wenn /7x ly Ixy 

 innerhalb eines Bereiches erfüllt ist, sie auch innerhalb eines endlichen 

 oder abzählbar unendlichen Denkbereichs erfüllbar ist. 



Um Satz 2 allgemein zu beweisen ist es am bequemsten zuerst ein 

 Paar einfache Hülfsätze zu beweisen. 



^ l-'ür die spii'.eren allgemeineren Sätzen dieses Paragraphen führe ich die Beweise in 

 einer Weise, die der Löwenheimschen Beweisführung mehr ähnlich ist. 



