TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



Hülfsatz I. Es sei iix,x, . . x,n y, . . yn eine Relation (;h + ;/)ter Ord- 

 nung von solcher Beschaffenheit, dass wenn Xi . . . x^, beliebig gegeben 

 sind (innerhalb des gegebenen Bereichs 0) ein und nur ein //i, ein 

 und nur ein yg usw. bis ein und nur ein i/n vorhanden ist, sodass 

 -S'x, . . xmy, . .yn stattfindet. Es sei K eine beliebige endliche Klasse und 

 Kl die Klasse aller Werte von iji . . . ?/„, die zu den verschiedenen mög- 

 lichen Wahlen von x^.-.x^^ innerhalb Ü' gehören. Weiter soll K'= K-\- K^, 

 die Summe der beiden Klassen K und K^, sein. Dann ist K' auch eine 

 endliche Klasse. 



Die Richtigkeit dieses Satzes ist ja ganz klar. Besteht K aus k 

 Dingen, so gibt es überhaupt />;'" mögliche Auswahlen von x^ . . . .r^ und 

 also auch k^ zugehörige Reihen ijx . • • Vn- J^ie Zahl der Elemente von 

 Kl ist also höchstens k^n, und K' enthält höchstens k"^)/ -\- k Dinge. 



Hülfsatz 2. E§ sei R ein Relativ [ni -j- n)ter Ordnung von der in 

 Hülfsatz I erwähnten Beschaffenheit, und es sei S das logische Produkt 

 aller Klassen A^, die folgende zwei Eigenschaften besitzen : 



1) a ist Element von A"; 



2) wenn Xi . . . x^ innerhalb A' beliebig gewählt sind, so enthält A 

 auch die Dinge yi...yn, für welche ij*x,...xm, yi-.y stattfindet. 



Dann ist S entweder eine endliche oder eine abzählbar unendliche 

 Klasse. 



Beweis: Wir können mit K^ die Klasse aller Dinge y bezeichnen, 

 die in den Reihen y^ . . . y^ vorkommen, welche zu den verschiedenen 

 möglichen Wahlen von Xi . . . Xm innerhalb K gehören, und allgemein 

 unter K' die Klasse K -{- Ki verstehen. Der Übergang von K zu K' 

 gibt uns also eine eindeutige Abbildung der Mannigfaltigkeit aller Klassen 

 in sich selbst. Ich will mit \a\ die Klasse bezeichnen, die a und nur a 

 als Element enthält. Ich betrachte dann zuerst diejenigen Klassen von 

 Klassen, welche die zwei Eigenschaften haben: i) \''i\ als Element 

 zu enthalten und 2) mit einer Klasse K immer K' als Element zu ent- 

 halten. Es sei Ä der Durchschnitt dieser Klasse von Klassen. A ist 

 dann eine gewöhnliche Dedekindsche Kette und besteht bekanntlich aus 

 den Klassen \a\, \a\\ \a\" usw. in. inf. Die Klassen, die Elemente von .4 

 sind, brauchen aber nicht alle von einander verschieden zu sein; jedenfalls 

 ist aber A eine endliche oder eine abzählbar unendliche Klasse von Klassen. 



Ausserdem ist zufolge Hülfsatz i klar, dass jedes Element von A 

 eine endliche Klasse sein muss. Denn erstens ist ]n\ endlich, und zwei- 

 tens ist immer K' endlich, wenn K endlich ist. Die Klasse aller end- 

 lichen Klassen muss nach der Definition von .4 also .4 ganz enthalten, 

 d. h. jedes Element von ,4 ist eine endliche Klasse. 



