1920. No. 4. UNTERS. ÜBER DIE BEWEISBARKEIT MATH, SÄTZE. 9 



Nach bekannten ment^entheoretischen Sät/.en folgt dann, dass die 

 Summe aller Klassen, die Elemente von .4 sind, — es sei ISA diese 

 Summe — , eine endliche oder eine abzählbar unendliche Klasse sein 

 muss. 



Endlich lässt sich zeigen, dass F ^^ SA ist. Wir haben ja erstens, 

 dass \a[ in F als Unterklasse enthalten ist, und es ist klar, dass wenn 

 K Unterklasse von =" ist, so ist auch Ä'' Unterklasse von =". Hieraus 

 folgt, dass jedes Element von .-1 Unterklasse von S ist, und daraus 

 folgt, dass SA in Z als Unterklasse enthalten ist. Umgekehrt muss 

 aber auch F Unterklasse von SA sein. Denn a ist Element von SA, 

 und wenn Xy . . . x^ beliebig .innerhalb SA gewählt werden, so gibt es, da 

 \a\ Unterklasse von )a[\ \a[' wieder Unterklasse von )'/{'' ist, usw., 

 ein Element Ä' von A, das auf einmal Xi .. . x^ enthält, und dann gehört 

 jedes // der zugehörigen Reihe i/y . . . i/^^ zu K', dem folgenden Element 

 von .1, und folglich gehören alle diese tj zu SA. Nach der Definition 

 von =■ muss dann 5" Unterklasse von SA sein. Also ist SA = =", 

 woraus folgt, dass =' entweder endlich oder abzählbar unendlich ist. 



Der Beweis des Satzes 2 ist nun leicht zu führen. Es soll eine 

 Zählaussage von der Normalform 



/yx,.../7x,n Iy,...^y^ U, 



•J'r 



gegeben sein, und wir sollen annehmen, diese sei für gewisse Werte der 

 in U auftretenden Relativsymbole innerhalb eines gegebenen Denkberei- 

 ches erfüllt. Nach dem Auswahlprinzip können wir dann zu jeder Wahl 

 von Xi . . . a:,n unter den zugehörigen Reihen i/i . . . //,), d. h. den Reihen 

 2/i • • • 2/n, f^if welche ^'x, . . . xm, vi . . .>'„ wahr ist, eine bestimmte ausge- 

 wählt denken: AVir können passend mit t/i (.r^ . . . Xm), 1/2 {^i - - - -Vm), ■ • -, 

 i/n (.Vi . . . ./'m) oder kürzer //1 {x), y-z{x), . . . ynix) die Reihe der /y bezeichnen, 

 die zu der Reihe x^ . . . x^ gehören. Dann gilt also die Aussage 



6x, . . . xm, y,(x), .Vofx), . . ., yn(x) 



für jede Wahl von Xy . . . x^. Ausserdem ist T/x, . . . xm, .v,(x). ...yn(x)eine 

 Relation von der in den Ilülfsätzen betrachteten Beschaffenheit. Lassen 

 wir also a ein spezielles Individuum sein, und lassen wir £" den Durch- 

 schnitt aller Klassen .Y sein, die a als Element enthalten und mit 

 Xi . . . x,n zugleich die // der Reihe //1 {x^ . . x^n), y-> (x, . . x^), ..,?/„ (^1 • • oc^) 

 enthalten, so ist E entweder endlich oder abzählbar unendlich, und 

 ausserdem gilt natürlich 



c X, . . Xm, .V|(x), . . ., yn(x) 



