lO TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



für alle mögliche Wahlen von Xi-.-X^ innerhalb =", wobei auch immer 

 y\[x), . . ., yn(:r) zu s gehören, so oft sci . . Xm zu =" gehören. 



Der Satz 2 lässt in hohem Grade Verallgemeinerungen zu. So ist nicht 

 schwer zu beweisen, dass auch das gleichzeitige Erlülltsein einer einfach 

 unendlichen Reihe von Zählaussagen der Normalform entweder ein Wider- 

 spruch ist oder schon innerhalb eines abzählbar unendlichen Denkbereichs 

 möglich ist. Mit Hülfe der oben angegebenen Zurückführung beliebiger 

 Zählaussagen auf die Normalform sieht man dann ein, dass dies auch 

 fur jedes Produkt einer einfach unendlichen Reihe beliebiger Zählaussagen 

 gelten muss. Dass ein solcher Satz auch bestehen wird, falls noch logi- 

 sche Disjunktionen in unendlicher Zahl voikommen, soll auch unten bewiesen 

 werden. Ich will mich hier der einfacheren Darstellung halber darauf 

 beschränken einen Beweis für den Fall zu geben, dass wir ein logisches 

 Produkt einer einfach unendlichen Reihe von Aussagen der Form 

 /7x 2y U^y haben. Die Ausdehnung zu dem allgemeinen Falle einer un- 

 endlichen Reihe beliebiger Aussagenfaktoren der Normalform bietet keine 

 prinzipielle Schwierigkeit. 



Es sei also das Aussagenprodukt 



(9) 77x, ly^ Uk^ y, //x, Zy, Ux, y, In. inf. 



gegeben, wo die U Aussagen sind, die aus Relativkoeffizienten mit Hülfe 

 von Konjunktion, Disjunktion und Negation allein in endlicher Zahl von 

 Anwendungen aufgebaut sind. Wir brauchen natürlich nicht den Fall 

 näher zu betrachten, da zwei beliebige der Aussagenfaktoren des Pro- 

 duktes (9) überhaupt kein gemeinsames Relativsymbol haben ; denn wenn 

 das ganze Aussagenprodukt dann nicht ein Widerspruch ist, so ist ohne 

 weiteres klar, dass keine der Faktoraussagen ein Widerspruch ist, und 

 dann kann jede der letzteren für sich innerhalb eines abzählbar unend- 

 lichen Bereichs erfüllt werden. Da aber die Faktoraussagen in diesem 

 Falle vollständig von einander unabhängig sind, wird dadurch auch das 

 ganze Produkt zu einer wahren Aussage. Wenn die einzelnen Aussagen- 

 faktoren nie gemeinsame Relativsymbole haben, so ist übrigens klar, 

 dass die Voraussetzung einer abzählbaren Menge von Faktoren nicht 

 nötig ist. Wir betrachten also weiter nur den P^all, da die Faktoren 

 gemeinsame Relativsymbole besitzen. 



Nehmen wir jetzt an, dass die Aussage (9) innerhalb eines Bereiches 

 erfüllt ist. Dann ist à fortiori für jedes r die Aussage 



erfüllt. Kraft des Auswahl prinzips können wir dann für jedes Xr unter 

 den ijr, für welche Ux » wahr ist, ein eindeutig bestimmtes auswählen; 



