1920. No. 4. UNTERS. ÜBER DIE BEWEISBARKEIT MATH. SÄTZE. I I 



bezeichnen wir dies mit i/ri^r). Wir wählen ausserdem ein behebiges 

 Individuum in und nennen es i. Dann soH weiter //1(1) 2 heissen, 

 2/1(2) soll 3 heissen, y.,{ ' ) soll 4 heissen usw. Das Gesetz dieser succes- 

 siven Xamengebung wird aus der folgenden Tabelle klar werden: 



2/i(U = 2 



//1(2) = 3 2/2(0 = 4 



//1(3) -^ 5 ?/i(4) -- 6 //0(2) =7 Z/3( I ) = 8 



2/1(5) ---- 9 2/1^6) =10 ?/i( 7 ) = 1 1 vil 8 ) = 1 2 //0(3 ) = 1 3 ^2(4) -= 1 4 



?/3(2)= 15 .'/4(1) -^ 16 



Nun sind der Annahme nach die Aussagen Ux y^fx ) alle wahr, und 

 folglich muss auch das Aussagenprodukt 



"^ 1 2 ^ 2 3 *- 3 5 • • • • ^ 1 4 ^- 2 7 • • • • ^ 1 S ^ i' , l 5 • • • • ^1,10 



wahr sein. Daraus sieht man aber, dass die Aussage 



y/xi i'y, f X, VI /^Xo ly.^ f Xj yj . . . . 



erfüllt ist, selbst wenn die Produktionen und Sum mationen nur über die 

 Werte i, 2, 3, ... der Indizes ausgedehnt wird; d. h. die Aussage (9) 

 ist auch innerhalb eines abzählbaren Denkbereichs erfüllbar. 



Es gilt also der folgende Satz: 



Satz 3. Ist eine Aussage darstellbar als ein Produkt einer ahzäld- 

 barcn Menge von Zählaussagen, so ist sie entiveder ein WtdersprucJi, 

 oder sie ist schon innerhalb eines abzahlbaren Denkbereichs erfüllbar. 



Anm.: Aussagen dieser Form wird man leicht erhalten, wenn man 

 mit Kettenbildungen zu tun hat. Bezeichnet z. B. R die zu der binären 

 Relation R gehörende Kette (die .Nachkommen'- Relation von Russell 

 & Whitehead i), so ist 



-/l'xy = ^ xy -}- 7»'xy -\- ^ z Rxz Rzy -f~ -^^u Zv Rxn Ruv Rvy -}- , 



WO /' die Schrödersche Bezeichnung der Relation , identisch mit' ist. 

 Die Negation von iVxy wird dann ein Produkt einer unendlichen Reihe 

 von Zählaussagen sein. 



Um die Frage beantworten zu können, wie es gehen wird, wenn 

 auch unendlich viele Anwendungen der Disjunktion in der gegebenen 

 Aussage vorkommen, hat man vor allem die folgende selbstverständliche 

 Tatsache zu beachten : 



' Principia Mathematica, Vol. i. p. 569. 



