12 TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



Eine Aussagensumme ist innerhalb eines Bereichs für ge^visse Werte 

 der corkommenden Relativsymhole immer und nur dann erfüllt, wenyi 

 mindestens eine der Summandaussagen für eben diese Werte der Sym- 

 bole erfüllt int. 



Es lässt sich dann der folgende Satz beweisen : 



Satz 4. Eine Summe (abzählbar oder nickt-fOizäldbarJ unendlich 

 vieler ZäJilaussagen ist entweder überliaupt nicht erfällbar, oder sie ist 

 schon innerlialb eines abzählbar unendlichen Denkbereichs für gewisse 

 Werte der auftretenden Relativsymbole erfüllt. 



Beweis: Wenn die gegebene Aussagensumme U innerhalb eines Be- 

 reichs für gewisse Werte der vorkommenden Relativsymbole erfüllt ist, 

 so muss (nach der eben gemachten Bemerkung) mindestens einer der 

 Summanden — es sei Ä ein solcher — für eben diese Werte der Sym- 

 bole erfüllt sein. Da aber alle Summanden Zählaussagen sein sollen, 

 so muss nach Satz 2 .4 schon innerhalb eines abzählbaren Bereichs für 

 gewisse Werte der in Ä auftretenden Symbole erfüllt sein. Dadurch wird 

 nun auch die ganze Aussagensumme U in dem abzählbaren Bereiche er- 

 füllt, wenn noch für die eventuel in JJ aber nicht in .4 vorkommenden 

 Relativsymbole beliebige Werte in eben diesem abzählbaren Bereiche 

 gewählt werden. 



Man sieht nun auch leicht ein, dass üherliaupt alle Aussage)!, die 

 mit Hülfe von endlich oder abzählbar unendlich vielen Anwendungen der 

 Konjunktion und der Disjunktion aus Zählaussagen aufgebaut sind, 

 schon im abzahlbar Unendlichen erfüllt iverden können, wenn sie über- 

 haupt erfüllt u-erden könnet! . 



Erstens ist klar, dass eine unendliche Summe Vi-\-U2-\- • - - , u-obei 

 jedes Ur ein Produkt unendlich vieler Zählaussagen Ul(s = l, 2, . . .) ist, 

 entn-eder nie erfüllt oder schon im abzählbar unendlichen erfüllt ist. 

 Der Beweis datür kann in der Tat ganz genau in derselben Weise wie 

 der Beweis für Satz 4 geführt werden, wobei der Satz 3 zur Anwen- 

 dung kommt. 



Weiter haben wir auch den folgenden Satz: 



Satz 5. Es sei die Aussage U das Produkt der u)iendlicJi vielen 

 Aussagen Ur, deren jede wieder die Summe unendlich vieler ZäJilaus- 

 sagen ist, nämlicli 



Ur=IsU^, 

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wobei jedes Ur eine Zählaussagc. Dann ist U entweder nie erfüllt oder 

 schon in einem abzäldbaren Bereiche bei passender Wahl der Werte der 

 Relativsymbole erfüllt. 



