1920. No. 4. UNTERS. ÜBER DIE BEWEISBARKEIT MATH. SÄTZE. I3 



Beweis: Die Aussagenmultiplikation lässt sich ausführen, sodass feine 

 Summe von Produkten von Zählaussagen wird, obwohl die Menge dieser 

 Produkte allerdings nicht abzählbar ist. Ist U für gewisse Werte der auf- 

 tretenden Relativsymbole erfüllt, so muss also mindestens ein Summand 

 für dieselben Werte der Symbole erfüllt sein. Ein solcher Summand ist 

 aber das Produkt einer einfach unendlichen Reihe von Zählaussagen und 

 ist also nach Satz 3 schon in einem abzählbaren Bereiche erfüllt. Dann 

 ist auch U selbst in dem abzählbaren Bereiche erfüllt, wenn noch für 

 die eventuel in U aber nicht in dem betreffenden Summand vorkom- 

 menden Relativsymbole beliebige Werte innerhalb dieses abzählbaren 

 Bereichs gewählt werden. 



Dieselbe Beweismethode lässt sich natürlich auch anwenden, wenn 

 die gegebene Aussage noch komplizierter aufgebaut ist. Wir könnten z. B. 

 einen ganz ähnlichen Satz über alle diejenigen Aussagen fJ beweisen, die 

 ein Produkt unendlich vieler Aussagen f\ sind, deren jede eine Summe 

 der Aussagen V^ ist, wobei jedes U^ das Produkt der Aussagen U*^ , 

 ist, deren jede wieder eine Summe der Zählaussagen f"^'^' ist. Usw. 



> j o r, r' 



Aus diesen Sätzen folgt u. a. das folgende interessante Ergebnis : 



Satz 6: Jede Aussage, die aus Rclativkoefjizienten mit Hälfe endlich 

 vieler Amiendungen der Konjunktion, Disjunktion, Negation, Produk- 

 tatioii und Summation über Individ uumsgmbole sowie der Ketteyihildung 

 aufgebaut ist, ist entiveder nie erfüllt oder schon innerhalb eines abzahl- 

 baren Denkbereichs für gewisse Werte der Relativsymbole erfüllt. 



Die Richtigkeit dieses Satzes ist ja ganz klar, da jede Aussage, die 

 durch eine Kettenbildung zu Stande kommt, in Form einer einfach unend- 

 lichen Summe von Zählaussagen geschrieben werden kann. Vergl. die 

 Anmerkung Seite 11. 



Beispiele: Eine Relativgleichung wie die folgende (es sollen bloss 

 binäre Relative vorkommen, und die Bezeichnungen sind Schrödersche aus- 

 genommen die Bezeichnung J\ für die Kette von 7? und das Zeichen 7 für 

 die relative Addition vergl. die Anmerkung Seite 11)): 



(x X -(- X .\) f X ; X i" X ; ^ == ^' 



ist entweder in keinem Bereiche oder schon in einem abzählbar unend- 

 lichen Bereiche lösbar. 



Ebenso ist auch die Relativgleichung 



(.x + y)(x + y); (xfy)-;- x; y=0 



entweder überhaupt nicht oder schon in einem abzählbaren Bereiche 

 lösbar. 



