14 TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



Ganz dasselbe gilt natürlich auch für die folgende Gleichung: 



wobei {n, v) für beliebige Werte der binaren Relative u und v das Relativ 

 J' -|- u; î; -j" u; u; v; v -\- « ; u; u; V] v; v + . . . in inf. bedeuten soll. 



Usw. 



Ich will aber auch andere Verallgemeinerungen des Satzes 2 angeben. 

 Auch folgender Satz gilt: 



Satz 7. Eine Aussage der Form 



nij . . . n y I ... u 



X, Xo 



in int. ^i ••• ""'m, ^' i , -^'2 •••in inf. 



ist e)it/ceder ein Widerspr?icJi oder i)iuerJialb eines abzahlbaren Denk- 

 bereicJis für f/eicisse Werte der in U vorkommenden Relativ symbole erfüllt. 

 Beweis: Wir nehmen an, eine Aussage dieser Form sei innerhalb 

 eines Bereichs für gewisse Werte der Relativsymbole erfüllt. Dann 

 denken wir uns nach dem Auswahlprinzip für jede Wertreihe x^ . . . Xm. 

 unter den Wertreihen y^, y^, . . . , für welche L^x, ...x^, y,, y.,, ... wahr ist, 

 eine bestimmte ausgewählt. Die in dieser Reihe vorkommenden y be- 

 zeichne ich als y^ {x^, . . . , Xai) oder kürzer als y^ (R), wenn R die Reihe 

 der X bezeichnet. Es sei a ein spezielles Individuum in 0. Die Dinge 

 !Jr (''' ^^. • • • j ".^ bilden dann höchstens eine abzählbar unendliche Menge 

 M[. (Sie kann ja auch eine endliche Menge sein, da diese y nicht alle 

 verschieden zu sein brauchen). Es sei My die Menge, welche die Elemente 

 von J7' und ausserdem auch a enthält, also J/, = M^ + \a\. J/, ist dann 

 höchstens abzählbar unendlich. Die Wertreihen x^ . . . Xm, die innerhalb 

 Ml gewählt werden können und von der schon betrachteten Reihe a, a,..., a 

 verschieden sind, bilden auch wieder eine höchstens abzählbar unendliche 

 Menge. Die zu diesen Wertreihen R gehörenden Reihen der y bilden 

 also auch eine höchstens abzählbare Menge, und dasselbe gilt für die in 

 diesen Reihen vorkommenden Dinge y {R). Es sei J/„' die Menge dieser 

 y und M2 -= J/i + ^^2- Die Menge aller Wertreihen x^ . . . Xat, die in 34 

 aber nicht schon in M^ gewählt werden können, ist wieder höchstens ab- 

 zählbar. Folglich ist die Menge der zugehörigen Reihen y {x^ . . . Xai) 

 ebenso wie auch die Menge der darin vorkommenden Dinge y Çr-^ . . . Xm} 

 selbst höchstens abzählbar. Es sei M^ die Menge dieser y und M^^=3J2-\-^^3- 

 In dieser Weise wird ins Unendliche fortgesetzt. Man bekommt eine 

 unendliche Reihe stets umfassenderer Mengen JY^, M.,, J/3, .... Die Limes- 

 menge Ma> = Mi-\- ^2 4- . . . ist dann auch höchstens abzählbar unendlich. 

 Wenn x^ . . . x^ beliebig innerhalb Mco gewählt werden, so müssen 

 Xi, Xo, ■ . . Xai schon bez. in den Mengen J/; ,, My.,, . . . , M-^ vorkommen. 



