1920. No, 4. UNTERS. ÜBER DIE BEWEISBARKEIT MATH. SÄT?.E. I5 



WO yi . . . ;'iTi endliche Zahlen sind, und unter diesen Zahlen gibt es eine 

 grösste ;'. Dann kommen o-,, . . . , r.n alle in M. vor, und folglich kommt 

 jedes //^ Ui, . . . , x,n) (r = I, 2, . . .) in ^J'/, also in My ri und also auch 

 in Mo> vor. Ausserdem gilt die Aussage 



i\ 



.x,n, y,i,x,...x,n.\ >',. V^i 



für jede Wahl von Xi, . . . , Xm innerhalb M,„. Hierdurch ist der Satz 

 bewiesen. 



In ähnlicher Weise kann auch der folgende noch allgemeinere Satz 

 bewiesen werden : 



Satz 8. 1st eine Äussaji:- U das Produkt einer ahzäJilharen Menge ron 

 Aussagen der in Sat;: 7 ern-iihnten Form, so ist U schon innerhalb eines 

 abzahlbar unendlicJten Doikhereichs für gewisse Werte der in U vorkom- 

 menden Relatirsgitdiolr erfüllt, falls U überhaupt erfillU werden kann. 



CO 



Beweis: Ist die Aussage U=IJ^ U^, wo für jedes r L\ eine Aussage 

 der Form 



////. . , // II ...U;;^ xr ,.r ..r . 



xj-xr xr yj-yr '^' ' n^r" "^^' 



ist, für gewisse Werte der vorkommenden Relative erfüllt, so denken wir 

 uns zu jeder Reihe üc\ . . . x^^ unter den zugehr)rigen Reihen //[, gl, . , ., 

 für welche U"^ wahr ist, eine bestimmte ausgewählt. Für jede Wahl der 

 Zahl r und der Dinge .t\ . . . x^^ sind dann g\, gl , , . eindeutig bestimmt. 

 Es sei (I ein spezielles Individuum des Bereichs. Dann bilden die zu der 

 Wahl x\ ==a, ./' =a, . . . , ,/•,'„, =:(i gehörenden Dinge g höchstens eine ab- 

 zählbare Menge J/,', Es sei Mi= M'^ -{- \a[. Die verschiedenen neuen 

 Wertreihen x\ . . . .r_'^^ mit den überhaupt möglichen Wertreihen j] .. .x'^^^ 

 innerhalb My bilden wieder eine höchstens abzählbare Menge, und die 

 in den zu diesen Reihen gehörigen Reihen der // vorkommenden Dinge // 

 bilden deshalb auch eine höchstens abzählbar unendliche Menge M^. Es 

 sei M.,^M,-\-M'. Dann bilden die Wertreihen ./■' . . . ./•' ^? • • • ^1 . 

 .'/;•' . , , ./■'■' die innerhalb M» gewählt werden können aber nicht schon 



i mai - ^ 



in Ml gewählt waren, höchstens eine abzählbare Menge, und ebenso auch 

 die Dinge //, welche in den verschiedenen zugehörigen Reihen vorkommen. 

 Es sei .17,; diese letzte Menge und M^ = M^ + M'.^. In dieser Weise wird 

 ins Unendliche fortgesetzt und man bekommt zuletzt eine Limesmenge Moj, 

 die Summe der wachsenden Mengen M^ M.,, . , . , die auch höchstens ab- 

 zählbar unendlich ist, während wie leicht einzusehen jede der Aussagen Uy 

 und folçrlich U innerhalb M,„ erfüllt ist. 



