l6 TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



§2. 



Lösung des Problems zu entscheiden, ob eine gegebene Aussage des 

 Gruppenkalkuls beweisbar ist oder nicht. 



Der logische Gruppenkalkul ^ hat mit gewissen Dingen zu tun, die 

 gewöhnlich .Gruppen' genannt werden. Zwischen diesen besteht bisweilen 

 eine binäre Relation, die gewöhnlich ,Subsumption' genannt wird; man sagt, 

 dass eine Gruppe a in einer anderen b , enthalten' ist. Ich will im fol- 

 genden das Bestehen dieser binären Relation zwischen a und h einfach 

 (ab) schreiben. Weiter kommen zwischen den Gruppen zwei ternäre Re- 

 lationen vor, indem eine Gruppe der gemeinsame Bestandteil zweier an- 

 deren, die grösste auf einmal in den beiden anderen enthaltene Gruppe, 

 sein kann, oder eine Gruppe kann die kleinste auf einmal zwei andere 

 enthaltende sein. Das Bestehen dieser Relationen zwischen drei Gruppen 

 bezeichne ich im folgenden bez. als abc und abc. Die Axiome, welche 

 dem Gruppenkalkul zu Grunde liegen, sind dann die folgenden: 

 I. Für jedes x gilt {.xx}. 



II. Aus (xi/) in Verbindung mit [i/z) folgt {xz). 



lllx- Aus xi/z folgen {^x) und {nj) III^. Aus xij£ folgen (xz) und (ijz). 

 IVx. Aus xij^ in Verbindung mit IVa-. Aus xl/^ in Verbindung mit {xu) 



[ux) und (inj) folgt (Mf ). und (iju) folgt (zu). 



Vx- Aus xi/z in Verbindung mit V-t-. Aus xi/z in Verbindung mit 



(xx'), (x'x), {!/]/), [y'y), [zz) und [xx'), {x'x), (yy'), (y'y), Uz') und 



(z'z) folgt x'y'z'. j (z'z) folgt x'y'z'. 



VIx. Für beliebige x und y gibt es Vl-f. Für beliebige x und y gibt es 



ein f, sodass xyz besteht. ein z. sodass xyz besteht. 



Nach der in Schröders Algebra der Logik angewandten ßezeichnungs- 

 weisewird a =ê^,c^a^y, c ^^ a -{ b statt (ab), abc, abc geschrieben. 



Die Gültigkeit eines Satzes innerhalb der Algebra, welche auf dieser 

 axiomatischen Grundlage aufgebaut werden kann, besteht nun immer 

 einfach darin, dass man folgendes zeigen kann: Wenn diese oder jene Paare 

 und Tripel (xy), xyz usw. gegeben sind, können aus diesen durch eventuel 

 wiederholte und kombinierte Anwendung der Axiome diese oder jene 

 Paare und Tripel erzeugt werden. In der Tat haben die aufgestellten 

 Axiome den Sum von Erzeuyuiigspriuziinen, wobei nach den Axiomen 

 I — V neue Paare und Tripel aus gewissen ursprünglichen Symbolen 

 (Buchstaben) erzeugt werden, während nach den Axiomen VI neue Tripel 

 eingeführt werden, in welchen aber auch neueingeführte Buchstaben 

 auftreten. Dies ist eine rein kombinatorische Auffassung der Deduktion , 



1 Siehe E. Schröder: Algebra der Logik, B. i, p. 628—632. 



