1920. No. 4. UNTERS. ÜBER DIE BEWEISBARKEIT MATH. SÄTZE. 1/ 



auf die ich (Jeivicht legen möcJite, d/t sie bei logischen UntersucJiungen 

 besonders nützlich erscJieint. Dass in der Tat jeder Beweis nichts anderes 

 ist als eine Erzeugung von Paaren und Tripeln werde ich durch einige 

 Beispiele erläutern. 



Nehmen wir z. B. den Satz ab-^ac^a [b -\- c) in der Schröderschen 

 Terminologie. Er besteht i folgendem : 



Aus ahd in Verbindung mit ace, bcf, deg und afh folgt das Paar 

 (gh). Beweis: Aus bcf folgt nach III^ das Paar {bf). Aus abd folgen 

 sowohl {da) wie (db) nach IIIx- Aus (db) und {bf) folgt nach II (df). 

 Aus {da) und {df] in \"erbindung mit iifh folgt nach VI^ {dk). Aus bcf 

 folgt kraft III+ das Paar(c/). Aus ace folgen nach III^ {ea) und (ec). 

 Aus (fc) und {ef) folgt nach II (ef). Aus {ea) in Verbindung mit {ef) und 

 afh folgt nach VIx (eh). Aus (dJi) in X'erbindung mit {eh) und deg folgt 

 nach IV^ endlich {gh). 



Betrachten wir auch den Satz {a -\- b) -|- c =^ a -|- (// -\- c) in Schrö- 

 derscher Bezeichnung. Er besteht darin, dass das Paar (de) aus dem 

 Bestehen der vier Tripel alxx acd bcß aße folgt. 



Beweis : Aus bcß folgt nach III+ {bß) und aus aße in derselben Weise 

 (ße). Nach II bekommen wir aus den Paaren {bß) und (ße) das Paar {be). 

 Aus aße kann aber nach III+ auch {ae) gebildet werden. Aus {ae), (be) 

 und aba kann nach IV4. {ae) gebildet werden. Aus bcß kann man nach 

 III+ (cß) bilden, was mit {ße) kraft II (ce) gibt. Aus {ue), {ce) und acd 

 in Vereinigung kann endlich kraft IVj_ [de) gebildet u^erden. 



Bei diesen Beweisen kommen allein die Axiome I — V zur Anwendung. 

 Axiom VI kom.mt aber immer zur Anwendung, wenn man einen Existenz- 

 satz beweisen soll. So z. B. bei folgendem sehr einfachen Satze: 



Wenn a, b, c gegeben sind, so gibt es immer ein d, sodass sowohl 

 (ad) wie {bd) und {cd) stattfinden. 



Beweis: Kraft VI+ gibt es ein a solcher Beschaffenheit, dass aba vor- 

 kommt, und ausserdem ein d, so dass acd vorkommt. Aus aba können 

 nach III_ die Paare (arc) und (ba) und aus acd in gleicher Weise (ad) 

 und {cd) gebildet werden. Aus {(ta) und {ad) können wir nach II ad bilden. 

 Ebenso folgt {bd) aus (ba) in Verbindung mit {ad). Also haben wir so- 

 wohl (ad) wie (bd) und {cd), wodurch der Satz bewiesen ist. 



Man kann nun die Frage stellen, ob jemals auch die Axiome VI^ 

 und Vl+ bei Beweisen für Sätze der ersteren Art, die also nichi von der 

 Existenz von .Gruppen' handeln, zur Anwendung kommen werden. A 

 priori ist ja dies sehr wohl denkbar. Man könnte sich folgendes vorstellen: 

 Wenn gewisse Paare und Tripel, aus den ursprünglichen Symbolen a^ 0.3 

 , . . f/n gebildet, gegeben sind, und neue Tripel mit neuen .ursprüng- 



Vid.-Selsk. Skrifter. I. M.-N. Kl. 1920. No. 4. 2 



