TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



lichen Symbolen h^ ho . . . eingeführt werden, dann nachher durch An- 

 wendung der Axiome I— V mehr Paare und Tripel, aus a^ cio, ... r,'n 

 gebildet, ableitbar wären, als man durch ausschliessliche Anwendung der 

 Axiome I — V bekommen kcmnte. Bei den meisten anderen Axiomen- 

 systemen wird auch ein solches Verhältnis in hohem Grade stattfinden ; 

 es ist aber bemerkenswert, dass es hier durchaus nicht so ist, was die 

 Ableitbarkeit der Paare betrifft. In der Tat gilt folgender Satz, den ich 

 beweisen soll. 



Satz. Es sei ein System S von Paaren und Tripeln, aus den Sym- 

 bolen tti . . . «n gebildet, gegeben. Es sei Z das System, das alle diejenigen 

 Paare und Tripel enthält, die überhaiqjt mit Hülfe der Axiome I — V 

 aus den Paaren und Tripeln in S abgeleitet luerden können. Man führe 

 nun durch eventuell iviedevholte Anwendung von VI neue Tripel ein, 

 in welchen die neuen Symbole b^ bo . . . vorkommen, und es sei Z' das 

 System aller Paare und Tripel, die dann nachlier mit Hülfe von I — V 

 gebildet werden können. Dann enthält z' keiiie anderen Paare aus 

 tti «2 • • • ""'n gebildet als die schon in Z vorkommenden. 



Ich will diesen Satz nicht sofort beweisen, sondern mache zuerst 

 einige Vorbereitungen. Nehmen wir an, wir haben ein System S von 

 Paaren und Tripeln, tür welche die Axiome I — V, aber nicht VI, gültig 

 sind. Ich füge jetzt kraft VIx für zwei Symbole a^ und ao, ein « hinzu, so- 

 dass a^a^a stattfindet. Ausserdem werden folgende Paare zu ^S" hinzugefügt: 

 i) Das Paar (« «). 



2) Alle Paare [aar), wo üj- so beschaffen ist, dass wenn {a^ a-^) und (^g r/o) 

 auf einmal in S vorkommen, so kommt auch immer {asdr:) in S vor. 



3) Alle Paare [a^^ a), wo a^ so beschaffen ist, dass (r/^ a^) und («„ n^) 

 in S vorkommen. 



Hülfssatz I. Es sei S' das System, das aus S durch Hinzufügung 

 des Tripels (iiOoCi und der unter i ), 2) og 3) erwähnten Paare entsteht. 

 Dann sind die Axiome I— IV für S' gültig. 



Beweis: Dass das Axiom I für S' gültig ist, sieht man sofort; denn 

 jedes Symbol, das in einem der Paare oder Tripel in S' vorkommt, ist 

 entweder eines der Symbole a^ . . . a^ oder es ist das neue Symbol a. 

 Nun kommen die Paare (f/r^'r) (r = 1, 2, . . . , n) der Annahme nach alle 

 in S vor und also auch in S'. Ausserdem kommt (««) in S' vor nach i). 



Dass das Axiom II für S' wahr ist, sieht man wie folgt. Zwei Paare 



in S, die von der Form [aj. a^) und («s Ut) sind, geben nach dem für ^S" 



gültigen Axiom II das Paar («r «t), das also in S und folglich auch in 



S' vorkommt. — Nehmen wie ein Paar {a^ a^'} in S und ein Paar der Form 



« Hy) in S' , so soll immer (a^ a^) in S vorkommen, wenn {a^ fli) und {a^ a^) 



