1920. No. 4, UNTERS. ÜBER DIE BEWEISBARKEIT MATH. SÄTZE. I9 



in 'S' vorkommen, und daraus folgt nach II, wenn (rigOi) und (f/s^a) beide 

 in S vorkommen, dass ((TgOr') «'^'^ sein muss. Da also immer (rts^r') eS 

 ist, so oft sowohl (^s ^'i) wie (üsCio) b S sind, so soll nach 2) auch («c/r') 

 e S' sein. — Nehmen wir ein Paar (f/r flg) in '*>' und ein Paar (r/g a) in S', so 

 müssen ('rs"il und i'i^a.,) beide in .S' vorkommen, woraus folgt, dass 

 sowohl (V/r"i) £ ''^ wie (V/^ao) £ *5 und also nach 3) {(ira) e S'. — Endlich 

 betrachten wir zwei Paare in iS' der Form (fira) und (aus). Wenn {rir a) 

 e S' ist, so sind nach 3) sowohl (drCfi) wie (arrt2) ^ S, und da (aas) soll 

 £ <S' sein, so folgt daraus wieder nach 2), dass (((tOs) « '^' ist und also auch 

 £ .S". — Den Fall, da eines oder beide Paare von der Form (et a) sind, 

 brauchen wir augenscheinlich nicht zu berücksichtigen, da es ja dann 

 trivial ist, dass II erfüllt ist. — P2s gilt also II auch für das System <S'. 



Werden die Axiome III auf die Tripel üin'<n'ip oder amO^'ip in 

 S angewandt, so erhalten wir der Annahme nach Paare, die schon wieder 

 zu S gehören. Wird IIIx auf das neue Tripel f/j n^ a angewandt, so be- 

 kommen wir die Paare (a (ii) und (a cio). Diese sind aber von der unter 

 2) erwähnten Form und gehr)ren also zu S'. Also ist III fur S' gültig. 



Haben wir («q 0^) e S, (cfq Oa) e S und «m a^ Op e S, so muss auch 

 (r/q a^) E S sein, da IV^ für ^S' gültig sein soll. Nun können aber inner- 

 halb S' die Paare (a (im) und («r/n) vorkommen; dann folgt aus (((3^1) 

 und {(isd-i) £ S sowohl (cfg ^'m) wie (f/g r/n) e S. Da IV^x ^'•i'' S gilt, so folgt, 

 dass (r/gf/p) e S, so oft K/s«,) und (r/gr/g) e S, woraus wieder (adp) e S' folgt 

 (nach 2)). — Es seien nun die Paare (iirdi) und ((ir Oo) in ^S" und das Tripel 

 r/^r/o« in S' gegeben. Nach 3; ist dann (((ra) eS'. — Dass aus dem Vor- 

 kommen von (a (II), («r/o) und (ii(i2,a in <S'' auch (««) e ;iS' folgt ist sicher ; 

 denn nach i) kommt unter allen Umständen (« «) in S' vor. — Es gilt 

 also auch IV^ fiJf '^'• 



Wenn r/m'^'n^p. («mr/q) und (r/na,,) alle e S sind, so haben wir nach 

 dem für S gültigen Axiom IVj.(r/pflq) eS und also à fortiori eS'. Wenn 

 ^'m'in'fp E S und (daia) und (r/n«) beide e S', so haben wir (rfm r/i), (r/m r/o), 



Otrxdi) und («„«2) alle e 6', sodass sowohl ((ipUi) wie (r/p «2) £ /^, da I\'"+ 

 für S gilt. Dann soll aber nach 3) (r/p «) e S sein. — Es gilt also auch 

 IV . fur ,S'. 



Hierdurch ist also die Gültigkeit der Axiome I — IV für S' bewiesen, 

 was wir auch passend so ausdrücken können, dass S' in Bezug auf diese 

 Axiome (Erzeugungsprinzipien) abgeschlossen ist. 



Weiter kann folsrender Satz bewiesen werden: 



* Ich schreibe von jetzt an oft a s S als kürzeren Ausdruck dafür, dass a (das hier immer 

 ein Paar oder ein Tripel ist) in S vorkommt (« Element von S). 



