20 TH. SKOLEM, M.-N. Kl. 



Hülfssatz 2. Ist I ein System von Paaren und Tripeln, das in Bezug 

 auf die Axiome I — IV abgeschlossen ist, so bekommt man durch Hin- 

 zufügung aller Tripel, die durch (nicht wiederholte) Anwendung von V 

 daraus ableitbar sind, ein in Bezug auf die Axiome I — V abgeschlos- 

 senes System l'. 



Beweis: Da ^' nicht andere Paare enthält als die schon in I auf- 

 tretenden, so sind erstens die Axiome I und II für v' gültig. 



Nimmt man ein Tripel abc oder ahc, das zu 2 gehört, so gehören 

 [ca) und (ch) bez. (ac) und (bc) schon zu I. Ist a^-iy bez. aßy eines der 

 neuen Tripel, so sollen drei Symbole a, b, c vorkommen, sodass abc bez. 

 abc e I ist, während ausserdem {aa) (aa) {bß) (ßb) (cy) (yc) alle in I 

 auftreten. Dann kommen die Paare (ca) und (cb) bez. (ac) und [bc) in I 

 vor. Da Z in Bezug auf II abgeschlossen ist, so treten sicher (ya) und 

 (yß) bez. (ay) und {ßy) in 2' auf. Also gelten die Axiome III für S'. 



Ist abc oder abc ein Tripel in Z während {da) und (db) bez. (ad) und 

 (bd) Paare in Z' und also auch in I sind, so ist (de) bez. {cd) e Z. Ist 

 aßy bez. aßy eines der in l' aber nicht in E vorkommenden Tripel, so 

 gibt es jedenfalls drei Symbole r/, b, c, sodass die Paare (aa) (aa) (ßb) (bß) 

 (yc)(cy) allein i: auftreten, währen abc hez. abc zu Z gehört. Sind nun 

 (da) und (dß) bez. (ad) und (ßd) Paare in Z' und folglich auch in Z, so 

 kommen (da) und (db) bez. (ad) und (bd) in Z vor, also (de) bez. (cd) eZ, 

 woraus wieder (dy) bez. (yd) e Z. Es ist also Z' in Bezug auf die 

 Axiome IV abgeschlossen. 



Wenn abc e Z bez. ahc e Z und weiter (aa) (aa) (b ß) (ßb) (cy) (yc) 

 alle e Z, so ist aßy e Z' bez. ccßy i Z'. Wenn aßy oder aßy zu Z' aber nicht 

 zu Z gehört, so gibt es drei Symbole a, b, c, sodass die Paare (aa){aa) 

 (bß) (ßb) (cy) (yc) alle in Z vorkommen, während ausserden abc bez. abc 

 s Z ist. Kommen nun auch die Paare (aa) (aa) (ßß') (ß'ß) (yy) (y'y) alle 

 in Z' und also auch in Z vor, so gehören die Paare (aa) (a'a) (bß') (ß'h) 

 (cy) (y'c) alle zu Z, und also muss a ß' y' bez. c(' ß'y' in Z' vorkommen. 

 Die Axiome V sind also auch für Z' gültig. 



Wendet man nun diesen Hülfssatz 2 auf das System S' im vorher- 

 gehenden Hülfssatz an (d. h. setzt man Z = 6"), so bekommt man folgen- 

 den Satz: 



Hat man ein System 8, für das die Axiome I — V gültig sind, und 

 man in Übereinstimmung mit Axiom VI^; ein Tripel a^a^a hinzufügt, wo 

 a ein neues Symbol ist, so bekommt man durch hinreichend (endlich) 

 viele mal die Axiome I— V anzuwenden ein System Sy, für das die 

 Axiome I— V wieder gültig sind, und ^\ enthält nicht andere Paare von 

 den alten Symbolen gebildet als die schon in S auftretenden. 



