1920. No. 4. • UNTERS. ÜBER DIE BEWEISBARKEIT MATH. SÄTZE. 21 



Da ein genau gleicher Satz beweisbar ist, wenn man das A.xiom VI4. 

 statt VIx nimmt, so folgt hieraus weiter: 



Hat man ein in Bezug auf die Axiome I—V ab(/eschlossenes System 

 S, und die Axiome VI eventuell wiederholt angewandt werden, wobei man 

 nachher durch hinreichend viele Anwendungen von I—V ein System .S" 

 bekommt, das ivieder in Bezug auf I — T' abgeschlossen ist, so enthält S' keine 

 anderen Paare, von den in den Paaren und Tripeln von S auftretenden 

 Buchstabe)} gebildet, als die schon iyi S vorkommenden Paare. 



Hierdurch ist die Seite 18 aufgestellte Behauptung allgemein bewiesen. 



Wünscht man also zu finden, ob ein Paar oder gewisse Paare aus 

 gewissen gegebenen Paaren oder Tripeln kraft der Axiome I VI folgen, 

 so kann man die Axiome VI ausser Betracht lassen; man braucht nur 

 zu untersuchen, ob es (sie) mit Hülfe der Axiome I — V allein ableitbar 

 ist (sind). Da es ausserdem nur eine endliche Zahl von Paaren und 

 Tripeln gibt, die aus einer gegebenen endlichen Zahl von solchen nach 

 den Axiomen I — T' ableitbar sind, so ist hierdurch ein Verfahren gefunden 

 durch eine endliche Arbeit zu entscheiden, ob eine in der Symbolik des 

 Orujypenkalkuls darstellbare Aussage allgemein gültig ist oder nicht, wenn 

 diese Aussage nur von folgendem handelt: Wenn diese oder jene Paare 

 und Tripel gegeben sind, dann sind auch diese oder jene anderen Paare 

 und Tripel derselben ursprünglichen Symbole vorhanden. Dass auch die 

 Frage, ob ein oder mehrere Tripel aus gewissen gegebenen Paaren und 

 Tripeln folgen, entscheidbar ist, ist ganz klar, weil sich eine solche Frage 

 in eine völlig gleichwertige über die Ableitbarkeit eines oder mehrere Paare 

 umschreiben lässt. Um niimlich zu untersuchen, ob ein Tripel abc aus 

 einem System S von Paaren und Tripeln ableitbar ist, können wir ein 

 Symbol « und das Tripel aba einführen, und es sei S' das System, das 

 aus S durch Hinzufügung von aba entsteht. Es ist dann für die Ableit- 

 barkeit des Tripels abc von dem System S mit Hülfe von I — VI notwen- 

 dig und hinreichend, dass die Paare (ca) und (ac) aus S' mit Hülfe der- 

 selben Axiome gebildet werden können. 



Ich gebe hier einige Beispiele. 



Beispiel i. Dass die Subsumtior> b =^ a nicht allgemein aus der um- 

 gekehrten Subsumtion a =^ b folgt, kann wie folgt gesehen werden. Dass 

 i( :^ b gegeben ist, bedeutet in unserer Sprache, dass das Paar {ab) ge- 

 geben ist. Da hier zwei ursprüngliche Symbole a und b vorkommen, so 

 können nach I die Paare (aa) und (bb) gebildet werden. Dann bilden 

 aber schon die drei Paare {aa){ab) (bb) in Vereinigung ein in Bezug auf 

 die Axiome I — V abgeschlossenes System. Da das Paar [ba) in diesem 

 System nicht vorkommt, so ist dadurch nach den obigen Ausführungen 



